6 Sea $ E$ el conjunto de todos los triángulos cuyos únicos puntos con coordenadas enteras (en el sistema de coordenadas cartesianas en el espacio), en su interior o sobre sus lados, son sus tres vértices, y sea $ f$ la función área de un triángulo. Determine el conjunto de valores $ f(E)$ de $ f.$

7 Para toda sucesión $ (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ de números naturales primos no nulos, $ \{1, 2, \ldots, n\}$ ordenados de cualquier manera, denote por $ f(s)$ la suma de los valores absolutos de las diferencias entre dos miembros consecutivos de $ s.$ Halle el valor máximo de $ f(s)$ donde $ s$ recorre el conjunto de todas las sucesiones de este tipo, es decir, para todas las sucesiones $ s$ con las propiedades dadas.

8 Sean $ Ax,By$ dos semirrectas perpendiculares, no coplanares, (rayos no coplanares) tales que $ AB$ es su perpendicular común, y sean $ M$ y $ N$ los dos puntos variables sobre $ Ax$ y $ Bx,$ respectivamente, tales que $ AM + BN = MN.$ (a) Demuestre que existen infinitas rectas coplanares con cada una de las rectas $ MN.$ (b) Demuestre que existen infinitas rotaciones alrededor de un eje fijo $ \delta$ que transforman la recta $ Ax$ en una recta coplanar con cada una de las rectas $ MN.$

9 ¿Existen dos sucesiones de números reales $ \{a_i\}, \{b_i\},$ $ i \in \mathbb{N},$ que satisfagan las siguientes condiciones: \[ \frac{3 \cdot \pi}{2} \leq a_i \leq b_i\] y \[ \cos(a_i x) - \cos(b_i x) \geq - \frac{1}{i}\] $ \forall i \in \mathbb{N}$ y para todo $ x,$ con $ 0 < x < 1?$

10 Halle el número máximo $ c$ tal que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tenga \[ \{n \cdot \sqrt{2}\} \geq \frac{c}{n}\] donde $ \{n \cdot \sqrt{2}\} = n \cdot \sqrt{2} - [n \cdot \sqrt{2}]$ y $ [x]$ es la parte entera de $ x.$ Determine, para este número $ c,$ todos los $ n \in \mathbb{N}$ para los cuales $ \{n \cdot \sqrt{2}\} = \frac{c}{n}.$

6 Como se muestra en la figura, se sabe que $M$ es el punto medio del lado $BC$ de $\vartriangle ABC$ . $\odot O$ pasa por los puntos $A, C$ y es tangente a $AM$ . La prolongación del segmento $BA$ interseca a $\odot O$ en el punto $D$ . Las rectas $CD$ y $MA$ se intersecan en el punto $P$ . Demuestre que $PO \perp BC$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/8/a/da3570ec7eb0833c7a396e22ffac2bd8902186.png

7 Suponga que $\{a_n\}$ es una sucesión tal que $a_{n+1}=(1+\frac{k}{n})a_{n}+1$ con $a_{1}=1$ . Halle todos los enteros positivos $k$ tales que todo $a_n$ sea un entero.

1 Se sabe que la sucesión $\{a_n\}$ satisface $a_1=2$ , $a_n=2^{2n}a_{n-1}+n\cdot 2^{n^2}$ , $(n \ge 2)$ ; halle el término general de $a_n$ .

2 Desde un punto $P$ exterior a la circunferencia $\odot O$ trazamos las tangentes $PA$ , $PB$ y la secante $PCD$ . La recta que pasa por el punto $C$ paralela a $PA$ interseca las cuerdas $AB$ , $AD$ en los puntos $E$ , $F$ respectivamente. Demuestre que $CE = EF$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/8/c/bf15595bc341b917df30b3aa93067887317c65.png

3 Halle todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z)$ tales que se cumpla $1 + 2^x \cdot 3^y=5^z$ .