1 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ tiene exactamente $2011$ soluciones de enteros positivos $(x,y)$ donde $x \leq y$.

4 Particione $\frac1{2002},\frac1{2003},\frac1{2004},\ldots,\frac{1}{2017}$ en dos grupos. Defina $A$ como la suma de los números del primer grupo y $B$ como la suma de los números del segundo grupo. Halle la partición para la cual $|A-B|$ alcanza su mínimo y explique la razón.

5 Sean $0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$ .Halle el mayor número real $ C$ tal que para cualquier entero positivo $ n $ se tenga $$\sum_{k=1}^n x^2_k (x_k - x_{k-1})>C$$

6 Dados un conjunto finito $X$ , dos enteros positivos $n,k$ y una aplicación $f:X\to X$ . Defina $f^{(1)}(x)=f(x),f^{(i+1)}(x)=f^{(i)}(x)$ , $i=1,2,3,\ldots$ . Se sabe que para cualquier $x\in X$ , $f^{(n)}(x)=x$ . Defina $m_j$ como el número de $x\in X$ que satisfacen $f^{(j)}(x)=x$ . Demuestre que: (1 ) $\frac{1}n \sum_{j=1}^n m_j\sin {\frac{2kj\pi}{n}}=0$ (2 ) $\frac{1}n \sum_{j=1}^n m_j\cos {\frac{2kj\pi}{n}}$ es un entero no negativo.

7 Este es un problema muy clásico. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circunferencia circunscrita $\omega_1$ . Las rectas $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $E$ , y las rectas $AD$ , $BC$ se intersecan en el punto $F$ . La circunferencia $\omega_2$ es tangente a los segmentos $EB,EC$ en los puntos $M,N$ respectivamente, e interseca a la circunferencia $\omega_1$ en los puntos $Q,R$ . Las rectas $BC,AD$ intersecan a la recta $MN$ en $S,T$ respectivamente. Muestre que $Q,R,S,T$ son concíclicos.

8 Sea $n$ un entero positivo fijo. Sean $$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{bmatrix}\quad \text{and} \quad B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots &b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots &b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots &b_{nn} \end{bmatrix}\quad$$ dos tablas de $n\times n$ tales que $\{a_{ij}|1\le i,j\le n\}=\{b_{ij}|1\le i,j\le n\}=\{k\in N^*|1\le k\le n^2\}$ . Sobre la tabla $A$ se puede realizar la operación siguiente: elegir $2$ números en la misma fila o en la misma columna de $A$ , intercambiar estos $2$ números y dejar los $n^2-2$ números restantes sin cambios. Esta operación se llama una transposición de $A$ . Halle, con demostración, el menor entero positivo $m$ tal que para cualesquiera tablas $A$ y $B$ se puedan realizar a lo sumo $m$ transposiciones de modo que la tabla resultante de $A$ sea $B$ .

1 Sea $n\ge 3$ un entero. Coloque $n^2$ tarjetas, cada una etiquetada con $1,2,\ldots ,n^2$ respectivamente, en cualquier orden en $n$ cajas vacías de modo que haya exactamente $n$ tarjetas en cada caja. Se puede realizar la operación siguiente: primero se seleccionan $2$ cajas, se sacan cualesquiera $2$ tarjetas de cada una de las cajas seleccionadas y luego se devuelven las tarjetas a la otra caja seleccionada. Demuestre que, para cualquier orden inicial de las $n^2$ tarjetas en las cajas, se puede realizar la operación un número finito de veces de modo que los números etiquetados en cada caja sean enteros consecutivos.

3 Sean $m$ y $n$ enteros primos relativos con $m>1,n>1$ . Muestre que: Existen enteros positivos $a,b,c$ tales que $m^a=1+n^bc$ , y $n$ y $c$ son primos relativos.

4 Sea $n$ un entero positivo y $a_1,a_2,\cdots,a_n\in\{0,1,\cdots,n\}$ . Para el entero $j$ $(1\le j\le n)$ , defina $b_j$ como el número de elementos del conjunto $\{i|i\in\{1,\cdots,n\},a_i\ge j\}$ . Por ejemplo: Cuando $n=3$ , si $a_1=1,a_2=2,a_3=1$ , entonces $b_1=3,b_2=1,b_3=0$ . $(1)$ Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n}(i+a_i)^2\ge \sum_{i=1}^{n}(i+b_i)^2.$$ $(2)$ Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n}(i+a_i)^k\ge \sum_{i=1}^{n}(i+b_i)^k,$$ para el entero $k\ge 3.$

5 Defina una sucesión $\{a_n\}$ mediante \[S_1=1,\ S_{n+1}=\frac{(2+S_n)^2}{ 4+S_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots).\] Donde $S_n$ es la suma de los primeros $n$ términos de la sucesión $\{a_n\}$ . Para cualquier entero positivo $n$ , demuestre que \[a_{n}\ge \frac{4}{\sqrt{9n+7}}.\]