11 Halle todos los números naturales $n < 1978$ con la siguiente propiedad: si $m$ es un número natural, $1 < m < n$ , y $(m, n) = 1$ (es decir, $m$ y $n$ son primos relativos), entonces $m$ es un número primo.

12 La ecuación $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ tiene tres raíces reales (no necesariamente distintas) $t, u, v$ . ¿Para cuáles $a, b, c$ los números $t^3, u^3, v^3$ satisfacen la ecuación $x^3 + a^3x^2 + b^3x + c^3 = 0$ ?

13 Los satélites $A$ y $B$ orbitan la Tierra en el plano ecuatorial a una altitud $h$ . Están separados por una distancia $2r$ , donde $r$ es el radio de la Tierra. ¿Para cuáles $h$ pueden ser vistos en direcciones mutuamente perpendiculares desde algún punto del ecuador?

14 Sean $p(x, y)$ y $q(x, y)$ polinomios en dos variables tales que para $x \ge 0, y \ge 0$ se cumplen las siguientes condiciones: $(i) p(x, y)$ y $q(x, y)$ son funciones crecientes de $x$ para cada $y$ fijo. $(ii) p(x, y)$ es una función creciente y $q(x)$ es una función decreciente de $y$ para cada $x$ fijo. $(iii) p(x, 0) = q(x, 0)$ para todo $x$ y $p(0, 0) = 0$ . Muestre que las ecuaciones simultáneas $p(x, y) = a, q(x, y) = b$ tienen una solución única en el conjunto $x \ge 0, y \ge 0$ para todos los $a, b$ que satisfacen $0 \le b \le a$ , pero carecen de solución en el mismo conjunto si $a < b$ .

15 Demuestre que para todo entero positivo $n$ coprimo con $10$ existe un múltiplo de $n$ que no contiene el dígito $1$ en su representación decimal.

16 Sea $f$ una función inyectiva de ${1,2,3,\ldots}$ en sí mismo. Demuestre que para cualquier $n$ tenemos: $\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}.$

17 Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $x, y, z$ con $xy-z^2 = 1$ se pueden encontrar enteros no negativos $a, b, c, d$ tales que $x = a^2 + b^2, y = c^2 + d^2, z = ac + bd$ . Tomando $z = (2q)!$ deduzca que para cualquier número primo $p = 4q + 1$ , $p$ puede representarse como suma de cuadrados de dos enteros. Amir

18 Dado un número natural $n$ , demuestre que el número $M(n)$ de puntos con coordenadas enteras dentro del círculo $(O(0, 0),\sqrt{n})$ satisface \[\pi n - 5\sqrt{n} + 1<M(n) < \pi n+ 4\sqrt{n} + 1\]

19 Consideramos tres semirrectas distintas $Ox, Oy, Oz$ en un plano. Demuestre la existencia y unicidad de tres puntos $A \in Ox, B \in Oy, C \in Oz$ tales que los perímetros de los triángulos $OAB,OBC,OCA$ sean todos iguales a un número dado $2p > 0.$ Amir

20 Sea $O$ el centro de una circunferencia. Sean $OU,OV$ radios perpendiculares de la circunferencia. La cuerda $PQ$ pasa por el punto medio $M$ de $UV$ . Sea $W$ un punto tal que $PM = PW$ , donde $U, V,M,W$ son colineales. Sea $R$ un punto tal que $PR = MQ$ , donde $R$ está sobre la recta $PW$ . Demuestre que $MR = UV$ . Versión alternativa: Se da una circunferencia $S$ con centro $O$ y radio $r$ . Sea $M$ un punto cuya distancia a $O$ es $\frac{r}{\sqrt{2}}$ . Sea $PMQ$ una cuerda de $S$ . El punto $N$ está definido por $\overrightarrow{PN} =\overrightarrow{MQ}$ . Sea $R$ la reflexión de $N$ respecto de la recta que pasa por $P$ y es paralela a $OM$ . Demuestre que $MR =\sqrt{2}r$ .