7 Sean $f,g$ polinomios con coeficientes complejos tales que $\gcd(\deg f,\deg g)=1$ . Suponga que existen polinomios $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ con coeficientes complejos tales que $f(x)+g(y)=P(x,y)Q(x,y)$ . Demuestre que uno de $P$ y $Q$ debe ser constante. Victor Wang.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\omega$ . Suponga que un círculo $\omega_B$ es tangente a $BA,BC$ y tangente interiormente a $\omega$ en $B_1$ , mientras que un círculo $\omega_C$ es tangente a $CA, CB$ y tangente interiormente a $\omega$ en $C_1$ . Si $B_2, C_2$ son los puntos opuestos a $B,C$ sobre $\omega$ , respectivamente, y $X$ denota la intersección de $B_1C_2, B_2C_1$ , demuestre que $XA=XI$ . Propuesto por Vincent Huang y Nathan Weckwerth

1 Sean $a_1,a_2,\dots, a_n$ enteros positivos con producto $P,$ donde $n$ es un entero positivo impar. Demuestre que $$\gcd(a_1^n+P,a_2^n+P,\dots, a_n^n+P)\le 2\gcd(a_1,\dots, a_n)^n.$$ Propuesto por Daniel Liu

2 Un entero $n>2$ se llama sabroso si para todo par ordenado de enteros positivos $(a,b)$ con $a+b=n,$ al menos uno de $\frac{a}{b}$ y $\frac{b}{a}$ es un decimal finito. ¿Existen infinitos enteros sabrosos? Propuesto por Vincent Huang

3 Para cada entero $C>1$ decida si existen enteros positivos distintos dos a dos $a_1,a_2,a_3,...$ tales que para todo $k\ge 1$ , $a_{k+1}^k$ divide a $C^ka_1a_2...a_k$ . Propuesto por Daniel Liu

1 Halle todas las ternas $(f,g,h)$ de funciones inyectivas del conjunto de los números reales en sí mismo que satisfacen \begin{align*} f(x+f(y)) &= g(x) + h(y) \\ g(x+g(y)) &= h(x) + f(y) \\ h(x+h(y)) &= f(x) + g(y) \end{align*} para todos los números reales $x$ y $y$ . (Decimos que una función $F$ es inyectiva si $F(a)\neq F(b)$ para cualesquiera números reales distintos $a$ y $b$ . ) Propuesto por Evan Chen

2 Demuestre que para todos los reales positivos $a,b,c$ , \[\frac{1}{a+\frac{1}{b}+1}+\frac{1}{b+\frac{1}{c}+1}+\frac{1}{c+\frac{1}{a}+1}\ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+1}. \] Propuesto por David Stoner

B4 Sea $T$ el conjunto de todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos para las cuales existen triángulos con lados de longitudes $a,b,c.$ Expresa \[\sum_{(a,b,c)\in T}\frac{2^a}{3^b5^c}\] como un número racional en su forma más simple. Kent

3 Hay $20$ puntos colineales, separados por la misma distancia: $$. \,\,\, . \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\,. \,\,\, .$$ Miguel tiene que pintar tres o más de estos puntos de rojo, de tal manera que los puntos rojos estén separados por la misma distancia y sea imposible pintar exactamente un punto más de rojo sin violar la condición anterior. Determina de cuántas maneras puede Miguel hacer su tarea.

4 Con $150$ cubos blancos de $1 \times 1 \times 1$ se arma un prisma de $6 \times 5 \times 5$, se pintan sus seis caras de azul y luego se desarma el prisma. Lucrecia debe construir un nuevo prisma, sin huecos, usando exclusivamente cubos que tengan al menos una cara azul y de modo que las caras del prisma de Lucrecia queden completamente azules. Da las dimensiones del prisma de mayor volumen que Lucrecia puede armar.