5 El entero positivo $k$ y el conjunto $A$ de enteros distintos de $1$ a $3k$ inclusive son tales que no existen $a$ , $b$ , $c$ distintos en $A$ que satisfagan $2b = a + c$ . Los números de $A$ en el intervalo $[1, k]$ se llamarán pequeños ; los de $[k + 1, 2k]$ , medianos y los de $[2k + 1, 3k]$ , grandes . ¿Es siempre cierto que no existen enteros positivos $x$ y $d$ tales que si $x$ , $x + d$ y $x + 2d$ se dividen por $3k$ , entonces los restos pertenecen a $A$ y los de $x$ y $x + d$ son diferentes y son: a) pequeños? $\hspace{1.5px}$ b) medianos? $\hspace{1.5px}$ c) grandes? (En este problema suponemos que si un múltiplo de $3k$ se divide por $3k$ , entonces el resto es $3k$ en lugar de $0$ .)

4 Halle todos los números primos $p$ tales que $(x + y)^{19} - x^{19} - y^{19}$ es un múltiplo de $p$ para cualesquiera enteros positivos $x$ , $y$ .

3 Halle el mayor entero $k$ ( $k \ge 2$ ) para el cual existe un entero $n$ ( $n \ge k$ ) tal que de cualquier colección de $n$ enteros positivos consecutivos siempre se pueden elegir $k$ números que verifiquen las siguientes condiciones: 1. cada número elegido no es divisible por $6$ , ni por $7$ , ni por $8$ ; 2. la diferencia positiva de cualesquiera dos números elegidos distintos no es divisible por al menos uno de los números $6$ , $7$ y $8$ .

2 Halle todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ y $p$ , donde $p$ es un número primo, tales que $73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2$ .

1 Determine si existe un número natural $n$ para el cual $8^n + 47$ es primo.

Igual que el problema 9.2

3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y sea $E$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hasta $BC$ . Sea $Z \ne A$ un punto de la recta $AB$ con $AB = BZ$ . Sea $(c)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle AEZ$ . Sea $D$ el segundo punto de intersección de $(c)$ con $ZC$ y sea $F$ el punto antidiametral de $D$ con respecto a $(c)$ . Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $FE$ y $CZ$ . Si la tangente a $(c)$ en $Z$ corta a $PA$ en $T$ , demuestre que los puntos $T$ , $E$ , $B$ , $Z$ son concíclicos. Propuesto por Theoklitos Parayiou, Chipre

2 Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle BAC = 90^{\circ}$ , y sea $E$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hasta $BC$ . Sea $Z \neq A$ un punto de la recta $AB$ con $AB = BZ$ . Sean $(c)$ y $(c_1)$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $\triangle AEZ$ y $\triangle BEZ$ , respectivamente. Sea $(c_2)$ un círculo arbitrario que pasa por los puntos $A$ y $E$ . Suponga que $(c_1)$ corta a la recta $CZ$ nuevamente en el punto $F$ , y corta a $(c_2)$ nuevamente en el punto $N$ . Si $P$ es el otro punto de intersección de $(c_2)$ con $AF$ , demuestre que los puntos $N$ , $B$ , $P$ son colineales.

g1 Sea $ABC$ un triángulo con la mediana $CD$. El punto $E$ está en el lado $BC$ tal que $EC=\frac13 BC$ y $\angle ABC=20^o$. $AE$ intersecta a $CD$ en el punto $O$ y $\angle DAO = \angle ADO$. Encuentra la medida del ángulo $\angle ACB$.

1 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. La recta que pasa por $A$ perpendicular a $BC$ interseca a $BC$ en $D$ . Sea $E$ el punto medio de $AD$ y $\omega$ el círculo con centro $E$ y radio igual a $AE$ . La recta $BE$ interseca a $\omega$ en un punto $X$ tal que $X$ y $B$ no están en el mismo lado de $AD$ , y la recta $CE$ interseca a $\omega$ en un punto $Y$ tal que $C$ y $Y$ no están en el mismo lado de $AD$ . Si ambos puntos de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle BDX$ y $\triangle CDY$ se encuentran sobre la recta $AD$ , demuestre que $AB = AC$ .