6 Sean $P,Q,R$ polinomios con coeficientes reales o complejos tales que al menos uno de ellos no es constante. Si $P^n+Q^n+R^n = 0$ , demuestre que $n < 3.$ Amir

A4 Alice y Bob juegan al siguiente juego. Bob elige 2024 polinomios con coeficientes reales, $P, P_1, \ldots, P_{2023}$, tales que $1<\deg(P)<\deg(P_i), i=1,2,\dots,2023$, y se los muestra todos a Alice. En cada paso $i\ge 1$, Alice elige un número real $a_i>0$ tal que $a_{i+1}\ge a_i+2024$ y le muestra $a_i$ a Bob. Entonces, o bien él elige un número real $b_i$ que satisface $P_j(b_i) = P(a_i)$ para algún $j$, o bien, si no existe tal $b_i$, elige $b_i=a_i$. Alice gana si, en alguna etapa, puede exhibir enteros distintos $k$ y $m$ y un número real $c$ que satisfagan $\displaystyle |b_{k+i}+c -b_{m+i}|\le 10^{-2024}$, para todo $i=1,2,\dots,2024$. En caso contrario, gana Bob. Decide quién tiene una estrategia ganadora. (BULGARIA, Dragomir Grozev)

2022.2 Un cuadrado tiene $2$ dm de lado y está dividido en tres regiones $A, B, C$, como en la figura. La región $C$ tiene dos ángulos rectos. El punto $M$ es el punto medio de uno de los lados del cuadrado. ¿Cuál es el área de la región $C$?

En una tabla de $N \times N$ formada por cuadrados unitarios pequeños, algunos cuadrados están coloreados de negro y los demás cuadrados están coloreados de blanco. Para cada par de columnas y cada par de filas, los cuatro cuadrados en las intersecciones de estas filas y columnas no deben ser todos del mismo color. ¿Cuál es el mayor valor posible de $N$ ?

A1 Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $x^n -\frac{1}{x^{n}}$ se puede expresar como un polinomio en $x-\frac{1}{x}$ con coeficientes reales si y solo si $n$ es impar.

2012 g4 Sean $\Gamma_1$ , $\Gamma_2$ , $\Gamma_3$ , y $\Gamma_4$ , cuatro circunferencias diferentes tales que tienen un punto común $T$ y no hay dos circunferencias tangentes entre sí. Una recta $m$ que pasa por $T$ se encuentra nuevamente con $\Gamma_1$ y $\Gamma_3$ , en $M_1$ y $M_3$ , respectivamente. Otra recta $n$ que pasa por $T$ se encuentra nuevamente con $\Gamma_2$ , y $\Gamma_4$ en $N_2$ y $N_4$ , respectivamente. Demuestre que siempre es posible (y muestre cómo) construir convenientemente las rectas $m$ y $n$ tales que las circunferencias circunscritas de los triángulos $\vartriangle TM_1N_2$ y $\vartriangle TM_3N_4$ son tangentes..

2 Un grafo dirigido tiene cada vértice con grado de salida 2. Demuestre que es posible dividir los vértices en 3 conjuntos de modo que para cada vértice $v$ , $v$ no esté simultáneamente en el mismo conjunto con ambos vértices a los que apunta. David Yang. Versión más fuerte: véase aquí .

B5 Considera colecciones de pares no ordenados de $V$ objetos distintos $a$, $b$, $c$, $\ldots$, $k$. Tres pares como $ab$, $bc$, $ab$ se dice que forman un triángulo. Demuestra que, si $4E\leq V^2$, es posible elegir $E$ pares de modo que no se forme ningún triángulo.

3. Sean $m,n$ números enteros dados tales que $m+n$ es un número impar. Las aristas de una gráfica bipartita completa $K_{m,n}$ están etiquetadas con ${-1,1}$ de modo que la suma de todas las etiquetas es $0$. Demuestra que existe un árbol generador tal que la suma de las etiquetas de sus aristas es igual a $0$. Propuesto por Nima Dolatabadi.

2 Define la sucesión $\{a_n\}$ de la siguiente manera: $a_1=1$, $a_2=3$, $a_{n+2}=2a_{n+1}a_{n}+1$; para todo $n\geq1$. Demuestra que la mayor potencia de $2$ que divide a $a_{4006}-a_{4005}$ es $2^{2003}$.