4 Hemos construido un rombo uniendo dos triángulos equiláteros iguales. Al colocar $n-1$ puntos en los 3 lados de cada triángulo hemos dividido los lados en $n$ segmentos iguales. Al trazar segmentos de recta entre los puntos correspondientes de cada lado de los triángulos hemos dividido el rombo en $2n^2$ triángulos iguales. Escribimos los números $1,2,\dots,2n^2$ en estos triángulos de modo que ningún número aparezca dos veces. En el segmento común de cada dos triángulos escribimos la diferencia positiva de los números escritos en esos triángulos. Halle la suma máxima de todos los números escritos en los segmentos. (25 puntos) Propuesto por Amirali Moinfar

5 Considere una gráfica con $n$ vértices y $\frac{7n}{4}$ aristas. (a) Demuestre que existen dos ciclos de igual longitud. (25 puntos) (b) ¿Puede dar una función menor que $\frac{7n}{4}$ que siga funcionando en el inciso (a)? Demuestre su afirmación. Decimos que la función $a(n)$ es menor que $b(n)$ si existe un $N$ tal que para cada $n>N$ se cumple $a(n)<b(n)$. (A lo sumo 5 puntos) Propuesto por Afrooz Jabal'ameli

4 Demuestre que si $n$ es suficientemente grande, en todo cuadrado de $n\times n$ en el que se ha escrito un número natural en cada una de sus celdas, se puede encontrar un subcuadrado del cuadrado principal tal que la suma de los números en este subcuadrado sea divisible por $1391$ .

1 $P(x)$ es un polinomio no nulo con coeficientes enteros. Demuestre que existe una infinidad de números primos $q$ tales que para algún número natural $n$ , $q|2^n+P(n)$ . Propuesto por Mohammad Gharakhani

1 Un $n$ - palo es una figura conexa formada por $n$ cerillas de longitud $1$ colocadas horizontal o verticalmente, de modo que no haya dos que se toquen en puntos distintos de sus extremos. Dos figuras que pueden transformarse una en la otra mediante traslaciones, rotaciones o reflexiones se consideran iguales. Un $n$ - mino es una figura construida uniendo $n$ cuadrados de lado 1 por sus lados, de modo que exista un camino sobre los cuadrados entre cualesquiera dos cuadrados del $n$ - mino. Sea $S_n$ el número de $n$ - palos y $M_n$ el número de $n$ - minos; por ejemplo, $S_3=5$ y $M_3=2$. (a) Demuestre que para todo $n$ natural se cumple $S_n \geq M_{n+1}$. (b) Demuestre que para $n$ suficientemente grande se tiene $(2.4)^n \leq S_n \leq (16)^n$. Un segmento de retícula es un segmento del plano de longitud 1 cuyos dos extremos son puntos enteros. Un polipalo se llama sabio si, usando él y sus rotaciones o reflexiones, podemos cubrir todos los segmentos de retícula sin superposiciones; en caso contrario se llama no sabio. (c) Demuestre que existen al menos $2^{n-6}$ $n$ - palos no sabios distintos. (d) Demuestre que todo polipalo que tenga la forma de un camino que solo avanza hacia arriba y hacia la derecha es sabio. (e) Puntos extra: Demuestre que para $n$ suficientemente grande se tiene $3^n \leq S_n \leq 12^n$. El tiempo permitido para este examen fue de 2 horas.

2 Definimos la distancia entre dos circunferencias $\omega ,\omega '$ como la longitud de la tangente exterior común de las circunferencias y la denotamos por $d(\omega , \omega ')$. Si dos circunferencias no tienen una tangente exterior común, entonces la distancia entre ellas no está definida. Un punto también es una circunferencia de radio $0$ y la distancia entre dos circunferencias puede ser cero. (a) Centroide. $n$ circunferencias $\omega_1,\dots, \omega_n$ están fijas en el plano. Demuestre que existe una única circunferencia $\overline \omega$ tal que para cada circunferencia $\omega$ del plano, el cuadrado de la distancia entre $\omega$ y $\overline \omega$ menos la suma de los cuadrados de las distancias de $\omega$ a cada una de las $\omega_i$ con $1\leq i \leq n$ es constante; en otras palabras: \[d(\omega,\overline \omega)^2-\frac{1}{n}{\sum_{i=1}}^n d(\omega_i,\omega)^2= constant\] (b) Mediatriz. Suponga que la circunferencia $\omega$ tiene la misma distancia a $\omega_1,\omega_2$. Considere $\omega_3$ una circunferencia tangente a ambas tangentes exteriores comunes de $\omega_1,\omega_2$. Demuestre que la distancia de $\omega$ al centroide de $\omega_1 , \omega_2$ no es mayor que la distancia entre $\omega$ y $\omega_3$. (Si todas las distancias están definidas) (c) Circuncentro. Sea $C$ el conjunto de todas las circunferencias tales que cada una de ellas tiene la misma distancia a las circunferencias fijas $\omega_1,\omega_2,\omega_3$. Demuestre que existe un punto en el plano que es el centro de homotecia exterior de cada dos elementos de $C$. (d) Tetraedro regular. ¿Existen 4 circunferencias en el plano tales que la distancia entre cada dos de ellas sea igual a $1$? El tiempo permitido para este problema fue de 150 minutos.

3 La función real $f$ genera la función real $g$ si existe un $k$ natural tal que $f^k=g$, y lo denotamos por $f \rightarrow g$. En esta pregunta tratamos de encontrar algunas propiedades de la relación $\rightarrow$; por ejemplo, es trivial que si $f \rightarrow g$ y $g \rightarrow h$, entonces $f \rightarrow h$ (transitividad). (a) Dé un ejemplo de dos funciones reales $f,g$ tales que $f\not = g$, $f\rightarrow g$ y $g\rightarrow f$. (b) Demuestre que para cada función real $f$ existe un número finito de funciones reales $g$ tales que $f \rightarrow g$ y $g \rightarrow f$. (c) ¿Existe una función real $g$ tal que ninguna función la genere, salvo la propia $g$? (d) ¿Existe una función real que genere tanto $x^3$ como $x^5$? (e) Demuestre que si una función genera dos polinomios de grado 1 $P,Q$, entonces existe un polinomio $R$ de grado 1 que genera a $P$ y a $Q$. El tiempo permitido para este problema fue de 75 minutos.

2008.2.1 Sean $A, B, C, D$ y $E$ puntos consecutivos en una circunferencia con centro $O$ tales que $|AC| = |BD| = |CE| = |DO|$. Sean $H_1$, $H_2$ y $H_3$ los ortocentros de los triángulos $ACD$, $BCD$ y $BCE$. Demuestra que el triángulo $H_1H_2H_3$ es rectángulo.

4 Un polígono $A$ que no se interseca a sí mismo y tiene perímetro $p$ se llama Rotundo si para cada dos puntos $x,y$ sobre los lados de este polígono cuya distancia en el plano es menor que $1$ su distancia sobre el polígono es a lo sumo $\frac{p}{4}$ . (La distancia sobre el polígono es la longitud del camino más corto entre dos puntos del polígono) Ahora demostraremos que podemos colocar un círculo de radio $\frac{1}{4}$ en cualquier polígono rotundo. Los matemáticos de dos planetas, la Tierra y Tarator, tienen dos enfoques diferentes para demostrar el enunciado. En ambos enfoques, por "inner chord" entendemos un segmento con ambos extremos sobre el polígono, y una "diagonal" es una cuerda interior cuyos extremos son vértices del polígono. Enfoque terrestre: Cuerda maximal Sabemos que para todo polígono existe una cuerda interior $xy$ de longitud a lo sumo 1 tal que para cualquier cuerda interior $x'y'$ de longitud a lo sumo 1, la distancia sobre el polígono entre $x,y$ es mayor que la distancia sobre el polígono entre $x',y'$ . Esta cuerda se llama la cuerda maximal . En el polígono rotundo $A_0$ hay dos situaciones diferentes para la cuerda maximal: (a) Demuestre que si la longitud de la cuerda maximal es exactamente $1$ , entonces un semicírculo cuyo diámetro es la cuerda maximal cabe completamente dentro de $A_0$ , por lo que podemos colocar un círculo de radio $\frac{1}{4}$ en $A_0$ . (b) Demuestre que si la longitud de la cuerda maximal es menor que uno, aún podemos colocar un círculo de radio $\frac{1}{4}$ en $A_0$ . Enfoque de Tarator: Triangulación Enunciado 1: Para cualquier polígono tal que la longitud de todos sus lados sea menor que uno y ningún círculo de radio $\frac{1}{4}$ quepa completamente dentro de él, existe una triangulación del mismo mediante diagonales tal que ninguna diagonal de longitud mayor que $1$ aparezca en la triangulación. Enunciado 2: Cualquier polígono tal que ningún círculo de radio $\frac{1}{4}$ quepa completamente dentro de él puede dividirse en triángulos cuyos lados sean cuerdas interiores de longitud a lo sumo 1. Los matemáticos del planeta Tarator demostraron que si el segundo enunciado es verdadero, para cada polígono rotundo existe un círculo de radio $\frac{1}{4}$ que cabe completamente dentro de él. (c) Demuestre que si el segundo enunciado es verdadero, entonces para cada polígono rotundo existe un círculo de radio $\frac{1}{4}$ que cabe completamente dentro de él. Descubrieron que si el primer enunciado es verdadero entonces el segundo enunciado también lo es, por lo que ofrecieron una recompensa de un doogh por demostrar el primer enunciado. Un joven matemático terrestre llamado J.N. encontró un contraejemplo para el enunciado 1, recibiendo así la recompensa. (d) Encuentre un 1392-ágono que sea contraejemplo para el enunciado 1. Pero los taratorianos no están decepcionados y aún intentan demostrar el segundo enunciado. (e) (Puntos extra) Demuestre o refute el segundo enunciado. El tiempo permitido para este problema fue de 150 minutos.

3 Si $p$ es un número primo, ¿cuál es el producto de los elementos $g$ tales que $1\le g\le p^2$ y $g$ es una raíz primitiva módulo $p$ pero no es una raíz primitiva módulo $p^2$ , módulo $p^2$ ? ( $\frac{100}{6}$ puntos)