1 Determine todos los enteros positivos $n \ge 2$ que tienen un divisor positivo $m | n$ que satisface $$n = d^3 + m^3.$$ donde $d$ es el divisor más pequeño de $n$ mayor que $1$ .

2 Sea $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ Sea $\lambda \geq 1$ un número real y sea $n$ un entero positivo con la propiedad de que $\lfloor \lambda^{n+1}\rfloor, \lfloor \lambda^{n+2}\rfloor ,\cdots, \lfloor \lambda^{4n}\rfloor$ son todos cuadrados perfectos $.$ Demuestre que $\lfloor \lambda \rfloor$ es un cuadrado perfecto $.$

3 Hay $15$ luces en el techo de una habitación, numeradas del $1$ al $15$ . Todas las luces están apagadas. En otra habitación hay $15$ interruptores: un interruptor para las luces $1$ y $2$ , un interruptor para las luces $2$ y $3$ , un interruptor para las luces $3$ y $4$ , etcétera, incluido un interruptor para las luces $15$ y $1$ . Cuando se acciona el interruptor de tal par de luces, ambas luces cambian de estado (de encendido a apagado, o viceversa). Los interruptores se colocan en un orden aleatorio y todos parecen idénticos. Raymond quiere averiguar qué interruptor corresponde a cada par de luces. Desde la habitación de los interruptores no puede ver las luces. Sin embargo, puede accionar un número de interruptores y luego ir a la otra habitación para ver qué luces están encendidas. Puede hacer esto varias veces. ¿Cuál es el número mínimo de visitas a la otra habitación que debe hacer para determinar con certeza, para cada interruptor, a qué par de luces corresponde?

4 Determine todos los enteros positivos $d,$ tales que existe un entero $k\geq 3,$ tal que se pueden ordenar los números $d,2d,\ldots,kd$ en una fila, de modo que la suma de cada dos consecutivos de ellos sea un cuadrado perfecto. k.vasilev

1 Halle todas las cuádruplas $(a, b, c, d)$ de enteros no negativos tales que $ab =2(1 + cd)$ y existe un triángulo no degenerado con lados de longitudes $a - c$ , $b - d$ y $c + d$ .

2 Sea $n > 1$ un entero. Hay $n$ cajas en una fila y $n + 1$ piedras idénticas. Una distribución es una manera de repartir las piedras entre las cajas, en la que cada piedra está exactamente en una de las cajas. Decimos que dos de tales distribuciones están a un tiro de piedra la una de la otra si podemos obtener una distribución a partir de la otra moviendo exactamente una piedra de una caja a otra. La calidez de una distribución $a$ se define como el número de distribuciones que están a un tiro de piedra de $a$ . Determine la calidez promedio de todas las distribuciones posibles.

3 Sea $n$ un número natural. Un entero $a>2$ se llama $n$ - descomponible si $a^n-2^n$ es divisible por todos los números de la forma $a^d+2^d$ , donde $d\neq n$ es un divisor natural de $n$ . Halle todos los $n\in \mathbb{N}$ compuestos para los cuales existe un número $n$ - descomponible.

4 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$ hasta $AB$ . La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ , respectivamente. Sean $E$ y $F$ los reflejos de $C$ respecto de las rectas $C_1A_1$ y $C_1B_1$ , respectivamente. Sean $K$ y $L$ los reflejos de $D$ respecto de las rectas $C_1A_1$ y $C_1B_1$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $A_1EI$ , $B_1FI$ y $C_1KL$ tienen un punto común.

1 La sucesión de enteros positivos $a_0, a_1, a_2, . . .$ está definida por $a_0 = 3$ y $$a_{n+1} - a_n = n(a_n - 1)$$ para todo $n \ge 0$ . Determine todos los enteros $m \ge 2$ para los cuales $gcd (m, a_n) = 1$ para todo $n \ge 0$ .

2 Halle todas las cuádruplas $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ de números reales tales que se cumplen las seis igualdades siguientes: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = x^2_3 + x^2_4 + 6x_3x_4\\ x_1 + x_3 = x^2_2 + x^2_4 + 6x_2x_4\\ x_1 + x_4 = x^2_2 + x^2_3 + 6x_2x_3\\ x_2 + x_3 = x^2_1 + x^2_4 + 6x_1x_4\\ x_2 + x_4 = x^2_1 + x^2_3 + 6x_1x_3 \\ x_3 + x_4 = x^2_1 + x^2_2 + 6x_1x_2 \end{cases}$$