Sea $f_0:[0,1]\to\mathbb R$ una función continua. Defina la sucesión de funciones $f_n:[0,1]\to\mathbb R$ mediante $$f_n(x)=\int^x_0f_{n-1}(t)dt$$ para todos los enteros $n\ge1$ . a) Demuestre que la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ es convergente para todo $x\in[0,1]$ . b) Halle una fórmula explícita para la suma de la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n(x),x\in[0,1]$ .

Dentro de un cuadrado considere círculos tales que la suma de sus circunferencias sea el doble del perímetro del cuadrado. a) Halle el número mínimo de círculos con esta propiedad. b) Demuestre que existen infinitas rectas que intersecan al menos 3 de estos círculos.

Denote por $\mathcal M_2(\mathbb R)$ el conjunto de todas las matrices $2\times2$ con entradas reales. Demuestre que: a) para toda $A\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ existen $B,C\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ tales que $A=B^2+C^2$ ; b) no existen $B,C\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ tales que $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=B^2+C^2$ y $BC=CB$ .

Suponga que $A$ y $B$ son matrices $n\times n$ con entradas enteras y $\det B\ne0$ . Demuestre que existe $m\in\mathbb N$ tal que el producto $AB^{-1}$ puede representarse como $$AB^{-1}=\sum_{k=1}^mN_k^{-1},$$ donde $N_k$ son matrices $n\times n$ con entradas enteras para todo $k=1,\ldots,m$ , y $N_i\ne N_j$ para $i\ne j$ .

Para un entero dado $n\ge 1$ , sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función no decreciente. Demuestre que $$\int_0^1f(x)dx\le(n+1)\int_0^1x^nf(x)dx.$$ Halle todas las funciones continuas no decrecientes para las cuales se cumple la igualdad.

Sea $A=(a_{ij})$ una matriz real $n\times n$ tal que $A^n\ne0$ y $a_{ij}a_{ji}\le0$ para todos los $i,j$ . Demuestre que entre los valores propios de $A$ existen dos números no reales.

Dados los vectores $\overline a,\overline b,\overline c\in\mathbb R^n$ , demuestre que $$(\lVert\overline a\rVert\langle\overline b,\overline c\rangle)^2+(\lVert\overline b\rVert\langle\overline a,\overline c\rangle)^2\le\lVert\overline a\rVert\lVert\overline b\rVert(\lVert\overline a\rVert\lVert\overline b\rVert+|\langle\overline a,\overline b\rangle|)\lVert\overline c\rVert^2$$ donde $\langle\overline x,\overline y\rangle$ denota el producto escalar (interno) de los vectores $\overline x$ e $\overline y$ , y $\lVert\overline x\rVert^2=\langle\overline x,\overline x\rangle$ .

a) Demuestre que si $k$ es un entero positivo par y $A$ es una matriz simétrica real $n\times n$ tal que $\operatorname{tr}(A^k)^{k+1}=\operatorname{tr}(A^{k+1})^k$ , entonces $$A^n=\operatorname{tr}(A)A^{n-1}.$$ b) ¿La afirmación del inciso a) también es válida para enteros positivos impares $k$ ?

a) Calcule $$\lim_{n\to\infty}n\int^1_0\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^ndx.$$ b) Sea $k\ge1$ un entero. Calcule $$\lim_{n\to\infty}n^{k+1}\int^1_0\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^nx^kdx.$$

Sea $f:[0,1]\to\mathbb R$ una función creciente dos veces continuamente derivable. Defina las sucesiones dadas por $L_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac kn\right)$ y $U_n=\frac1n\sum_{k=0}^nf\left(\frac kn\right)$ , $n\ge1$ . 1. El intervalo $[L_n,U_n]$ se divide en tres segmentos iguales. Demuestre que, para $n$ suficientemente grande, el número $I=\int^1_0f(x)\text dx$ pertenece al segmento central de estos tres segmentos.