1 Sea $S=\{n|n-1,n,n+1$ pueden expresarse como la suma de los cuadrados de dos enteros positivos . $\}$ . Demuestre que si $n$ está en $S$ , entonces $n^{2}$ también está en $S$ .

2 $AB$ es un diámetro del círculo $O$ , y el punto $C$ está sobre la prolongación de la recta $AB$ . Una recta que pasa por $C$ interseca al círculo $O$ en los puntos $D$ y $E$ . $OF$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita $O_{1}$ de $\triangle BOD$ . Una $CF$ y prolongue, cortando al círculo $O_{1}$ en $G$ . Demuestre que los puntos $O,A,E,G$ son concíclicos.

3 Sea $k$ un entero positivo no menor que 3 y $x$ un número real. Demuestre que si $\cos (k-1)x$ y $\cos kx$ son racionales, entonces existe un entero positivo $n>k$ , tal que tanto $\cos (n-1)x$ como $\cos nx$ son racionales.

A6 Sea $n \geq 1$ un entero, y sean $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ números reales tales que \[ 1 \geq a_{n-1} \geq a_{n-2} \geq \dots \geq a_1 \geq a_0 \geq 0. \] Suponemos que $\lambda$ es una raíz real del polinomio \[ x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0. \] Demuestre que $|\lambda| \leq 1$ .

4 Dado un entero positivo $ n\geq 2$ , sean $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , ..., $ B_{n}$ $ n$ subconjuntos de un conjunto $ X$ tales que cada $ B_{i}$ contiene exactamente dos elementos. Halle el valor mínimo de $ \left|X\right|$ tal que para cualquier elección de subconjuntos $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , ..., $ B_{n}$ de este tipo, exista un subconjunto $ Y$ de $ X$ tal que: (1) $ \left|Y\right| = n$ ; (2) $ \left|Y \cap B_{i}\right|\leq 1$ para todo $ i\in\left\{1,2,...,n\right\}$ .

1 Se sabe que $a^{2005} + b^{2005}$ puede expresarse como un polinomio en $a + b$ y $ab$ . Halle la suma de los coeficientes de este polinomio.

2 Dados tres puntos $P$ , $A$ , $B$ y un círculo tales que las rectas $PA$ y $PB$ son tangentes al círculo en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Una recta que pasa por el punto $P$ interseca a ese círculo en dos puntos $C$ y $D$ . Por el punto $B$ , trace una recta paralela a $PA$ ; sea $E$ y $F$ los puntos donde esta recta interseca a las rectas $AC$ y $AD$ , respectivamente. Demuestre que $BE = BF$ .

3 Sea $S = \{1, 2, 3, ..., 2005\}$ . Si entre cualesquiera $n$ números primos relativos por pares en $S$ existe al menos un número primo, halle el mínimo de $n$ .

4 Dado el entero positivo $n > 2$ . Números reales $\mid x_i \mid \leq 1$ ( $i = 1, 2, ..., n$ ) que satisfacen $\mid \sum_{i=1}^{n}x_i \mid > 1$ . Demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que $\mid \sum_{i=1}^{k}x_i - \sum_{i=k+1}^{n}x_i \mid \leq 1$ .

5 Los círculos $C(O_1)$ y $C(O_2)$ se intersecan en los puntos $A$ , $B$ . $CD$ pasa por el punto $O_1$ , interseca a $C(O_1)$ en el punto $D$ y es tangente a $C(O_2)$ en el punto $C$ . $AC$ es tangente a $C(O_1)$ en $A$ . Trace $AE \bot CD$ , y $AE$ interseca a $C(O_1)$ en $E$ . Trace $AF \bot DE$ , y $AF$ interseca a $DE$ en $F$ . Demuestre que $BD$ biseca a $AF$ .