3 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales tales que $0 < a \le b \le c$ . Demuestre que $(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) \ge 60abc$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

4 Los números $a_{1}, a_{2}, ..., a_{20}$ satisfacen las siguientes condiciones: $a_{1} \ge a_{2} \ge ... \ge a_{20} \ge 0$ $a_{1} + a_{2} = 20$ $a_{3} + a_{4} + ... + a_{20} \le 20$ . ¿Cuál es el valor máximo de la expresión: $a_{1}^2 + a_{2}^2 + ... + a_{20}^2$ ? ¿Para qué valores de $a_{1}, a_{2}, ..., a_{20}$ se alcanza el valor máximo?

5 Se nos da un $\bigtriangleup ABC$ arbitrario. a) ¿Podemos diseccionar $\bigtriangleup ABC$ en $4$ piezas, con las cuales podemos formar dos triángulos semejantes a $\bigtriangleup ABC$ (cada pieza puede usarse una sola vez)? ¡Justifique su respuesta! b) ¿Es posible que para todo entero positivo $n \ge 2$ seamos capaces de diseccionar $\bigtriangleup ABC$ en $2n$ piezas, con las cuales podemos formar dos triángulos semejantes a $\bigtriangleup ABC$ (cada pieza puede usarse una sola vez)? ¡Justifique su respuesta!

Muestre que para todo entero positivo $n$ el número $7^n-1$ no es divisible por $6^n-1$ .

Hay $2003$ monedas distribuidas en varias bolsas. Las bolsas se distribuyen luego en varios bolsillos. Se sabe que el número total de bolsas es mayor que el número de monedas en cada uno de los bolsillos. ¿Es cierto que el número total de bolsillos es mayor que el número de monedas en algunas de las bolsas?

Sea $ABC$ un triángulo dado. El círculo circunscrito del triángulo tiene radio $R$ , el círculo inscrito tiene radio $r$ , el lado más largo del triángulo es $a$ , mientras que la altura más corta es $h$ . Muestre que: $\frac{R}{r} > \frac{a}{h}$ .

1 En el triángulo acutángulo $\triangle ABC$ , $BC>AC$ , $\Gamma$ es su círculo circunscrito, $D$ es un punto del segmento $AC$ y $E$ es la intersección del círculo con diámetro $CD$ y $\Gamma$ . $M$ es el punto medio de $AB$ y $CM$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $Q$ . Las tangentes a $\Gamma$ en $A,B$ se cortan en $P$ , y $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a $BQ$ . $K$ es un punto de la recta $HQ$ tal que $Q$ se encuentra entre $H$ y $K$ . Demuestre que $\angle HKP=\angle ACE$ si y solo si $\frac{KQ}{QH}=\frac{CD}{DA}$ .

2 Dados dos números naturales impares $ a,b$ , demuestre que para cada $ n\in\mathbb{N}$ existe $ m\in\mathbb{N}$ tal que $ a^mb^2-1$ o $ b^ma^2-1$ es múltiplo de $ 2^n.$

3 Sea $\mathcal{C}$ una familia de subconjuntos de $A=\{1,2,\dots,100\}$ que satisface las dos condiciones siguientes: 1) Todo subconjunto de $A$ con $99$ elementos está en $\mathcal{C}.$ 2) Para cualquier subconjunto no vacío $C\in\mathcal{C}$ existe $c\in C$ tal que $C\setminus\{c\}\in \mathcal{C}.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $|\mathcal{C}|$ ?

5 Se da una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $|f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq 1$ . Demuestre la existencia de una función aditiva $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ (es decir, $g(x+y)=g(x)+g(y)$ ) tal que $|f(x)-g(x)|\leq 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$