1 Francisco escribió una secuencia de números que comienza con $25$. A partir del cuarto término de la secuencia, cada término es el promedio de los tres anteriores. Dado que los primeros seis términos de la secuencia son números naturales y que el sexto número escrito fue $8$, ¿cuál es el quinto término de la secuencia?

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $\angle A$ y $\angle D$ son agudos y $\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD}$. Supón que $\angle BDA = 30^\circ$, demuestra que $\angle DAC = 30^\circ$.

9.4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Dos rectas que pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC$ y son paralelas a $BD$ y $CD$ cortan a $AC$ y $AB$ respectivamente en los puntos $E$ y $F$. Demuestra que el segmento $EF$ biseca al segmento $DH$. Propuesto por E. Volokitin

3 Un profesor de ciencias de la computación les ha pedido a sus estudiantes que escriban un programa que, dada una lista de $n$ números $a_1, a_2, ..., a_n$, calcule la lista $b_1, b_2, ..., b_n$ donde $b_k$ es el número de veces que el número $a_k$ aparece en la lista. Así, por ejemplo, para la lista $1,2,3,1$, el programa devuelve la lista $2,1,1,2$. Luego, el profesor le pidió a Alexandre que ejecutara el programa para una lista de $2025$ números. Después le pidió que aplicara el programa a la lista resultante, y así sucesivamente, hasta que aparezca un número mayor o igual que $k$ en la lista. Encuentra el mayor valor de $k$ para el cual, sea cual sea la lista inicial de $2025$ enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_{2025}$, sea posible que Alexandre haga lo que el profesor le pidió.

2 Los enteros positivos $k, m, n, p$ son tales que $p=2^{2^n}+1$ es primo y $p\mid 2^k-m$. Demuestra que existe un entero positivo $l$ tal que $p^2\mid 2^l-m$.

6 María quiere resolver un reto con una baraja de cartas, cada una con una figura distinta. Inicialmente, las cartas se reparten al azar en dos montones, no necesariamente en partes iguales. El objetivo de María es juntar todas las cartas en un mismo montón. En cada turno, María toma la carta superior de cada montón y las compara. En el libro de reglas hay una tabla que indica, para cada enfrentamiento de cartas, cuál de las dos gana. Ambas cartas se colocan luego en el fondo del montón de la carta ganadora, en el orden que María elija. El reto termina cuando todas las cartas están en un solo montón. Demuestra que siempre es posible que María resuelva el reto, sin importar la distribución inicial de las cartas ni la tabla del libro de reglas.

1 Se liberaron $100$ pirañas rojas y $99$ azules en la Piscina Tranquila vacía. Cuando una piraña quiere comer, puede comerse a otras dos pirañas. Si sus víctimas son del mismo color, la piraña cambia de color, pero si son de colores distintos, no cambia. Al final, solo queda una piraña. ¿De qué color es?

2 Demuestra que $$\frac{1+ \tan 1^\circ}{1-\tan 1^\circ} + \frac{1+\tan 2^\circ }{1-\tan 2^\circ } + \cdots + \frac{1+\tan 15^\circ}{1-\tan 15^\circ} > 19 $$

3 Un número primo $p$ tiene la propiedad de que: Para todos los enteros $a$ y $b$, la sucesión definida por las condiciones $x_1 = a$, $x_2 = b$, y $x_{n+2} = x_{n+1} + x_n$ para $n \ge 1$, contiene un término que es múltiplo de $p$. La sucesión de números de Fibonacci se define por las relaciones $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para $n \ge 1$. Demuestra que $F_{p+1}$ es divisible por $p$.

4 Sobre la bisectriz del ángulo con vértice \(A\), se fija un punto \(B\). En el segmento \(AB\), se elige un punto arbitrario \(O\) para el cual el círculo con centro \(O\) y radio \(OB\) interseca los lados del ángulo en cuatro puntos. Conecta dos de estos puntos, que estén en lados diferentes del ángulo y a distancias diferentes de \(A\), con un segmento. Demuestra que todos los segmentos construidos de esta manera tocan un círculo fijo.