A4 Una operación de bypass en un conjunto $S$ es una función $B: S\times S \rightarrow S$ con la propiedad de que $B(B(w, x), B(y,z)) = B(w,z)$ para todos $w, x, y, z \in S$ . (a) Demuestra que $B(a,b)=c$ implica $B(c,c)=c$ cuando $B$ es un bypass. (b) Demuestra que $B(a,b)=c$ implica $B(a,x)=B(c,x)$ para todo $x\in S$ cuando $B$ es un bypass. (c) Construye una operación de bypass $B$ en un conjunto finito $S$ con las siguientes tres propiedades: $B(x,x)=x$ para todo $x\in S$ . Existen $d$ y $e$ en $S$ con $B(d,e)=d \ne e.$ Existen $f$ y $g$ en $S$ con $B(f,g)\ne f.$

B2 Expresa $$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2 n +m n^2 +2mn }$$ como un número racional.

B5 Encuentra el mayor $a$ para el cual existe un polinomio $$P(x) =a x^4 +bx^3 +cx^2 +dx +e$$ con coeficientes reales que satisface $0\leq P(x) \leq 1$ para $-1 \leq x \leq 1.$

B3 La sucesión de polinomios $(Q_{n}(x))$ está definida por $$Q_{1}(x)=1+x ,\; Q_{2}(x)=1+2x,$$ y para $m \geq 1 $ por $$Q_{2m+1}(x)= Q_{2m}(x) +(m+1)x Q_{2m-1}(x),$$ $$Q_{2m+2}(x)= Q_{2m+1}(x) +(m+1)x Q_{2m}(x).$$ Sea $x_n$ la raíz real más grande de $Q_{n}(x).$ Demuestra que $(x_n )$ es una sucesión creciente y que $\lim_{n\to \infty} x_n =0.$

A5 Sea $0 < x_i < \pi$ para $i=1,2,\ldots, n$ y define $$x= \frac{ x_1 +x_2 + \ldots+ x_n }{n}.$$ Demuestra que $$ \prod_{i=1}^{n} \frac{ \sin x_i }{x_i } \leq \left( \frac{ \sin x}{x}\right)^{n}.$$

5 Considera una sucesión de polinomios $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x), \ldots$, donde $P_0(x) = 2, P_1(x) = x$ y para todo $n \geq 1$ se cumple la siguiente igualdad: \[P_{n+1}(x) + P_{n-1}(x) = xP_n(x).\] Demuestra que existen tres números reales $a, b, c$ tales que para todo $n \geq 1,$ \[(x^2 - 4)[P_n^2(x) - 4] = [aP_{n+1}(x) + bP_n(x) + cP_{n-1}(x)]^2.\] Amir

Daniel y Juan David tienen tres montones de piedras que consisten en $30$ piedras amarillas, $20$ piedras azules y $10$ piedras rojas, respectivamente. Luego se turnan para retirar una piedra de cualquier montón, comenzando con Daniel. Daniel gana si en algún momento hay dos montones con el mismo número positivo de piedras; en cualquier otro caso, gana Juan David. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y descríbala. Propuesto por Juan David Restrepo

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que, para todos los reales $x$ e $y$ , $$( f(x)^2+f(y)^2)(x+y)^2=(f(x)+f(y))^2(x^2+y^2).$$ Propuesto por Cristhian Gonzalez

Sea $ABC$ un triángulo fijo. Decimos que una recta $\ell$ es balanceada si interseca los segmentos $AC$ y $AB$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente, de tal manera que el área del triángulo $APQ$ sea igual al área del cuadrilátero $BQPC$ . Sea $X$ el punto de intersección de las rectas $BP$ y $CQ$ , y sea $Y$ el punto medio del segmento $PQ$ . Demuestre que la recta $XY$ pasa por un punto fijo, al variar $\ell$ sobre todas las rectas balanceadas. Propuesto por Santiago Rodriguez

Sea $ABC$ un triángulo y sean $B'$ y $C'$ puntos sobre el segmento $BC$ tales que $BB'=CC'$ . Si las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $AB'C'$ se intersecan en $D$ (distinto de $A$ ) . Demuestre que las rectas $AD$ y $BC$ son paralelas. Propuesto por Cristhian Gonzalez