5 Muestre que el triángulo cuyos ángulos satisfacen la igualdad \[\frac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C} = 2\] es rectángulo

6 Theo Travel, que tiene $5$ hijos, ya ha visitado $8$ países de la zona del euro. De cada país trajo a casa $5$ monedas no necesariamente distintas. Además, entre estas $40$ monedas hay exactamente $5$ de cada valor ( $1,2,5,10,20,$ y $50$ ct, $1$ y $2$ euros). Quiere dar a cada hijo $8$ monedas de modo que provengan de países distintos y que cada hijo reciba la misma cantidad de dinero. ¿Es esto siempre posible?

1 Determine todos los números reales $q$ para los cuales la ecuación $x^4 -40x^2 +q = 0$ tiene cuatro soluciones reales que forman una progresión aritmética

2 Determine el número máximo posible de puntos que se pueden colocar en un rectángulo de lados $14$ y $28$ de modo que cualesquiera dos de esos puntos disten entre sí más de $10$ .

3 Wiebke y Stefan juegan el siguiente juego sobre una hoja de papel rectangular. Comienzan con un rectángulo de $60$ filas y $40$ columnas y lo cortan por turnos en rectángulos más pequeños. Los cortes deben hacerse a lo largo de las líneas de la cuadrícula, y un jugador en su turno solo puede cortar un rectángulo más pequeño. Así, Stefan solo hace cortes verticales, mientras que Wiebke solo hace cortes horizontales. El jugador que no puede hacer una jugada regular pierde el juego. (a) ¿Quién tiene una estrategia ganadora si Stefan hace el primer movimiento? (b) ¿Quién tiene una estrategia ganadora si Wiebke hace el primer movimiento?

4 ¿De cuántas maneras se puede dibujar la ”Casa de Nikolaus” (véase la figura)? No se pueden borrar ni duplicar aristas, y no se pueden dibujar aristas adicionales. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/0/5/33795820e0335686b06255180af698e536a9be.png

5 La sucesión de Fibonacci está dada por $x_1 = x_2 = 1$ y $x_{k+2} = x_{k+1} + x_k$ para cada $k \in N$ . (a) Demuestre que hay números de Fibonacci que terminan en un $9$ en el sistema decimal. (b) Determine para cuáles $n$ un número de Fibonacci puede terminar en $n$ $9$ - s en el sistema decimal.

6 (11) En una pirámide $SABCD$ con base $ABCD$ los triángulos $ABD$ y $BCD$ tienen áreas iguales. Los puntos $M,N,P,Q$ son los puntos medios de las aristas $AB,AD,SC,SD$ respectivamente. Halle la razón entre los volúmenes de las pirámides $SABCD$ y $MNPQ$ .

6 (12) Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^o$ y $\angle B < \angle C$ . La tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita $k$ de $\vartriangle ABC$ interseca a la recta $BC$ en $D$ . Sea $E$ la reflexión de $A$ respecto a $BC$ . Además, sea $X$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ a $BE$ y sea $Y$ el punto medio de $AX$ . La recta $BY$ corta nuevamente a $k$ en $Z$ . Demuestre que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ADZ$ .

1 Para cada parámetro real $a$ , halle el número de soluciones reales del sistema $$\begin{cases} |x|+|y| = 1 , \\ x^2 +y^2 = a \end{cases}$$