5 Tenemos una tabla de $m\times n$ recubierta con franjas de $3\times 1$ y sabemos que $6 | mn$. Demuestra que existe un recubrimiento de la tabla con dominós de $2\times 1$ tal que cada una de esas franjas contiene un dominó completo.

6 Sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Encuentra el mayor $\alpha$ tal que existe un triángulo para el cual hay al menos tres ángulos entre $\angle GAB, \angle GAC, \angle GBA, \angle GBC, \angle GCA, \angle GCB$ que son $\geq \alpha$.

1 Encuentra el mayor entero $k$ con la siguiente propiedad: Siempre que los números reales $x_1,x_2,\dots,x_{2024}$ satisfagan \[x_1^2=(x_1+x_2)^2=\dots=(x_1+x_2+\dots+x_{2024})^2,\] al menos $k$ de ellos son iguales.

2 Dados \(n \ge 2\) puntos sobre un círculo, Alicia y Bruno juegan el siguiente juego. Inicialmente, una ficha se coloca en uno de los puntos y no se dibuja ningún segmento. Los jugadores alternan turnos, comenzando Alicia. En un turno, un jugador mueve la ficha desde su posición actual \(P\) a uno de los \(n-1\) otros puntos \(Q\) y dibuja el segmento \(PQ\). Este movimiento no está permitido si el segmento \(PQ\) ya está dibujado. Si un jugador no puede hacer un movimiento, el juego termina y el oponente gana. Determina, para cada \(n\), cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $AC$ tal que $AB=AD$. Sea $E$ la intersección de la recta $AB$ con la recta perpendicular a $AO$ que pasa por $D$. Sea $F$ la intersección de la recta perpendicular a $OC$ que pasa por $C$ con la recta paralela a $AC$ que pasa por $E$. Finalmente, sean las rectas $CE$ y $DF$ las que se intersecan en $G$. Muestra que $AG$ y $BF$ son paralelas.

4 Encuentra todos los enteros \(n \ge 2\) para los cuales existen \(n\) enteros \(a_1,a_2,\dots,a_n \ge 2\) tales que para todos los índices \(i \ne j\), se tiene \(a_i \mid a_j^2+1\).

1 Sean $d$ y $m$ dos enteros positivos fijos. Pinocho y Geppetto conocen los valores de $d$ y $m$ y juegan el siguiente juego: Al inicio, Pinocho elige un polinomio $P$ de grado a lo más $d$ con coeficientes enteros. Luego Geppetto le hace preguntas de la forma "¿Cuál es el valor de $P(n)$?" para $n \in \mathbb{Z}$. Pinocho normalmente dice la verdad, pero puede mentir hasta $m$ veces. ¿Cuál es, en función de $d$ y $m$, el número mínimo de preguntas que Geppetto necesita hacer para estar seguro de determinar $P$, sin importar cómo Pinocho elija responder?

1 Alice y Bob juegan un juego. Inicialmente, escriben el par $(1012,1012)$ en el pizarrón. Alternan turnos, empezando Alice. En cada turno, el jugador puede convertir el par $(a,b)$ en $(a-2, b+1)$, $(a+1, b-2)$ o $(a-1, b)$, siempre que el par resultante tenga solo valores no negativos. El juego termina cuando no hay movimiento legal posible. Alice gana si el juego termina en $(0,0)$ y Bob gana si el juego termina en $(0,1)$. Determina quién tiene la estrategia ganadora. Propuesto por Shashank Ingalagavi y Krutarth Shah.

1 Determina todos los números enteros $x, y$ y $n$ tales que: $$3 (x^n - y^n) = 1977$$

4 Sea $p$ un número primo fijo. Encuentra todos los enteros $n \ge 1$ con la siguiente propiedad: Se pueden emparejar los divisores positivos de $n$ en pares $(d,d')$ que cumplan $d<d'$ y $p \mid \left\lfloor \frac{d'}{d}\right\rfloor$.