Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2005 Problema 1
1 Sea el triángulo $ABC$ con $BC$ el lado menor. Sea $P$ en ( $AB$ ) tal que el ángulo $PCB$ es igual al ángulo $BAC$ , y $Q$ en el lado ( $AC$ ) tal que el ángulo $QBC$ es igual al ángulo $BAC$ . Demuestre que la recta que pasa por los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $APQ$ es perpendicular a $BC$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2005 Problema 2
2 Demuestre que: a) hay infinitos números naturales de la forma 3p + 1, donde p es un entero positivo, que pueden representarse como la diferencia de 2 cubos de enteros positivos; b) hay infinitos números naturales de la forma 5q + 1, donde q es un entero positivo, que pueden representarse como la diferencia de dos cubos de enteros positivos.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2005 Problema 3
3 Sean $a_1,a_2,...a_n$ números positivos. Sea $s=a_1+a_2+...+a_n$ y $p=a_1*a_2*...*a_n$ . Demuestre que $2^{n}*\sqrt{p} \leq 1+\frac{s}{1!}+\frac{s^2}{2!}+...+\frac{s^n}{n!}$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2005 Problema 4
4 Sea $A$ el conjunto de todos los enteros no negativos. Se da una función tal que $f:\mathbb{A}\rightarrow\mathbb{A}$ con $f(1) = 1$ y para todo elemento $n$ del conjunto $A$ se cumple lo siguiente: 1) $3 f(n) \cdot f(2n+1) = f(2n) \cdot (1+3 \cdot f(n))$ ; 2) $f(2n) < 6f(n)$ . Halle todas las soluciones de $f(k)+f(l) = 293$ , $k<l$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2005 Problema 5
5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $F$ el pie de su altura trazada desde el vértice $C$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $CA$ . Suponga que $CF=BM$ . Entonces el ángulo $MBC$ es igual al ángulo $FCA$ si y solo si el triángulo $ABC$ es equilátero.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2005 Problema 6
6 Sea $n$ un número natural no nulo, y $x_1, x_2,..., x_n$ números reales positivos tales que $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}= n$ . Halle el valor mínimo de la expresión $x_1 +\frac{x_2^2}{2}++\frac{x_3^3}{3}+...++\frac{x_n^n}{n}$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2005 Problema 7
7 Sea $p$ un número primo y sean $a$ y $n$ enteros positivos no nulos. Demuestre que si $2^p + 3^p = a^n$ entonces $n=1$.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2005 Problema 8
8 Se consideran las familias de funciones de segundo grado $f_m, g_m: R\to R, $ , $f_m (x) = (m^2 + 1) x^2 + 3mx + m^2 - 1$ , $g_m (x) = m^2x^2 + mx - 1$ , donde $m$ es un parámetro real no nulo. Demuestre que, para cualquier función $h$ de segundo grado con la propiedad de que $g_m (x) \le h (x) \le f_m (x)$ para todo $x$ real, existe $\lambda \in [0, 1]$ que verifica la condición $h (x) = \lambda f_m (x) + (1- \lambda) g_m (x)$ , cualquiera que sea el real $x$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2004 Problema 1
1 Determine todas las ternas de enteros $(x, y, z)$ que verifican la desigualdad $x^2 + y^2 + z^2 <xy + 3y + 2z$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2004 Problema 2
2 Sea $n \in N^*$ . Sean $a_1, a_2..., a_n$ números reales tales que $a_1 + a_2 +...+ a_n \ge 0$ . Demuestre la desigualdad $\sqrt{a_1^2+1}+\sqrt{a_2^2+1}+...+\sqrt{a_1^2+1}\ge \sqrt{2n(a_1 + a_2 +...+ a_n )}$ .
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