8 Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $\angle B = \angle D$ y $AD = CD$ . La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que los puntos medios de los segmentos $AC, BD, AE,$ y $CF$ son concíclicos.

7 Restaure un cuadrilátero bicéntrico si se dan dos vértices opuestos y el incentro.

6 Se dan una circunferencia $\omega$ y dos puntos $A, B$ de esta circunferencia. Sea $C$ un punto arbitrario en uno de los arcos $AB$ de $\omega$ ; sea $CL$ la bisectriz del triángulo $ABC$ ; la circunferencia $BCL$ se encuentra con $AC$ en el punto $E$ ; y $CL$ se encuentra con $BE$ en el punto $F$ . Halle el lugar geométrico de los circuncentros de los triángulos $AFC$ .

2 Determine todos los números de cuatro cifras $\bar{a}\bar{b}\bar{c}\bar{d}$ tales que $$a(a+b+c+d)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(a^{6}+2b^{6}+3c^{6}+4d^{6})=\bar{a}\bar{b}\bar{c}\bar{d}$$

4 La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ toca $BC, CA, AB$ en los puntos $A_1, B_1$ y $C_1$ respectivamente, $P$ es un punto arbitrario sobre $\omega$ . La recta $AP$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $AB_1C_1$ por segunda vez en el punto $A_2$ . Los puntos $B_2$ y $C_2$ se definen de manera similar. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $A_2B_2C_2$ es tangente a $\omega$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y $M$ el punto medio del arco menor $BC$ de su circunferencia circunscrita. Una circunferencia $\omega$ toca los lados $AB, AC$ en los puntos $P, Q$ respectivamente y pasa por $M$ . Demuestre que $BP + CQ = PQ$ .

2 Se dan tres puntos colineales diferentes. ¿Cuál es el número de triángulos isósceles tales que estos puntos son su circuncentro, incentro y excentro (en algún orden)?

1 Las bisectrices $AI$ y $CI$ se encuentran con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $A_1, C_1$ respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $AIC_1$ se encuentra con $AB$ en el punto $C_0$ ; el punto $A_0$ se define de manera similar. Demuestre que $A_0, A_1, C_0, C_1$ son colineales.

. Sean $A, B, C$ tres dígitos impares distintos. Se sabe que $s=\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}$ es un número de tres cifras. Halle $s$ . Aquí $\overline{abc}$ denota el número cuya representación decimal está formada por los dígitos $a, b, c$ en ese orden. P2. Sobre el lado $BC$ de un triángulo equilátero $ABC$ se construye un semicírculo situado fuera del triángulo. Sobre este semicírculo se eligen los puntos $D$ y $E$ tales que $BD=DE=EC$ . Demuestre que los segmentos $AD$ y $AE$ dividen el lado $BC$ en tres partes iguales. P3. En un concurso de matemáticas en el que se ofrecen $4$ problemas, participan $25$ estudiantes. Cada problema solo se puntúa como resuelto o no resuelto (no se consideran las soluciones parciales). Demuestre que o bien existen $4$ participantes que resolvieron exactamente el mismo conjunto de problemas (posiblemente los cuatro no resolvieron ninguno de los problemas), o bien existen $2$ participantes tales que cada uno de ellos resolvió exactamente los problemas que el otro no resolvió. P4. Demuestre que para todos los números naturales $n>1$ y $k>1$ , el número $n^{k+2}-n^{k}$ es divisible por $12$ . P5. Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x+y+z=2$ . Demuestre que se cumple la desigualdad \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{4}\leqslant\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\] . P6. Demuestre que existen $2011$ puntos distintos en el plano, no todos sobre una misma recta, tales que todas las distancias entre pares de ellos son números naturales.

6 Halle todos los polinomios no constantes $P(x)$ con coeficientes enteros y coeficiente principal positivo, tales que $P^{2mn}(m^2)+n^2$ sea un cuadrado perfecto para todos los enteros positivos $m, n$ .