La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 9 de julio de 2020, 1:58 AM Y por Sea $ABC$ un triángulo equilátero de área $1998$ cm $^2$. Los puntos $K, L, M$ dividen los segmentos $[AB], [BC], [CA]$, respectivamente, en la razón $3:4$. La recta $AL$ corta a las rectas $CK$ y $BM$ respectivamente en los puntos $P$ y $Q$, y la recta $BM$ corta a la recta $CK$ en el punto $R$. Encuentre el área del triángulo $PQR$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:28 a. m. • 1 Y Y por mxsail Demuestre que el número $ \underbrace{88\dots8}_\text{2024\; \textrm{veces}}$ es divisible por 2024. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:31 a. m. • 1 Y Y por mxsail Sea $M$ un conjunto de 999 puntos en el plano con la propiedad: Para cualesquiera 3 puntos distintos en $M$ podemos elegir dos de ellos, tales que la distancia entre ellos sea menor que $1$. a) Demuestre que existe un disco de radio no mayor a 1 que cubre al menos 500 puntos en $M$. b) ¿Es cierto que siempre existe un disco de radio no mayor a 1 que cubre al menos 501 puntos en $M$? Z K Y

Sea $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ una función biyectiva y suponga que $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es una función tal que: Para todo natural $x$, $$\underbrace{f(\cdots (f}_{x^{2023}\;f\text{'s}}(x)))=x. $$ Para todo par de naturales $x,y$ tales que $x|y$, tenemos $f(x)|g(y)$. Demuestre que $f(x)=x$. Propuesto por Pulkit Sinha

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:53 p. m. • 3 Y Y por aopsuser305, Adventure10, Mango247 Resuelva el sistema de ecuaciones en números reales: \[ \begin{cases*} (x - 1)(y - 1)(z - 1) = xyz - 1,\\ (x - 2)(y - 2)(z - 2) = xyz - 2.\\ \end{cases*} \] Vladimir Bragin Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:55 PM • 4 Y Y por pavel kozlov, aopsuser305, Adventure10, Mango247 Sea $k$ un entero positivo tal que $p = 8k + 5$ es un número primo. Los enteros $r_1, r_2, \dots, r_{2k+1}$ se eligen de tal manera que los números $0, r_1^4, r_2^4, \dots, r_{2k+1}^4$ den residuos distintos por pares módulo $p$. Demuestre que el producto \[\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant 2k+1} \big(r_i^4 + r_j^4\big)\] es congruente a $(-1)^{k(k+1)/2}$ módulo $p$. (Dos enteros son congruentes módulo $p$ si $p$ divide a su diferencia.) Fedor Petrov Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IW@IT 124 publicaciones IW@IT #1 h 2 de julio de 2010, 11:59 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una sucesión infinita de enteros, $a_0,a_1,a_2,\dots,$ con $a_0>0$, tiene la propiedad de que para $n\ge 0$, $a_{n+1}=a_n-b_n$, donde $b_n$ es el número que tiene el mismo signo que $a_n$, pero con los dígitos escritos en orden inverso. Por ejemplo, si $a_0=1210,a_1=1089$ y $a_2=-8712$, etc. Encuentre el valor más pequeño de $a_0$ tal que $a_n\neq 0$ para todo $n\ge 1$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:54 p. m. • 3 Y Y por aopsuser305, Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ está circunscrito alrededor de un círculo $\omega$ . Sea $PQ$ el diámetro de $\omega$ perpendicular a $AC$ . Suponga que las rectas $BP$ y $DQ$ se intersecan en el punto $X$ , y que las rectas $BQ$ y $DP$ se intersecan en el punto $Y$ . Demuestre que los puntos $X$ e $Y$ yacen sobre la recta $AC$ . Géza Kós Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 918 publicaciones mathisreal #1 h 25 de junio de 2025, 7:11 PM Y por A Un número de tres dígitos $abc$ , con $a\neq 0$ y $b\neq 0$ , es bacana si los números de dos dígitos $ab, bc, ac$ son divisores de $abc$ . Encuentre todos los números bacana. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 918 publicaciones mathisreal #1 h 25 de junio de 2025, 7:20 PM Y por Una lista infinita de enteros satisface las siguientes propiedades: El primer número es $1$. La lista está en orden creciente. Para cada $n>1$, el n-ésimo número es menor o igual a $2n-2$. Demuestre que existen dos números de la lista $a, b$ tales que $a-b=2025$. Z K Y