Arnaldo y Bernardo juegan a la Batalla Naval Súper. Cada uno tiene un tablero de $n \times n$ . Arnaldo coloca barcos en su tablero (al menos uno, pero no se sabe cuántos). Cada barco ocupa las $n$ casas de una línea o una columna y los barcos no pueden superponerse ni tener un lado en común. Bernardo marca $m$ casas (que representan disparos) en su tablero. Después de que Bernardo marca las casas, Arnaldo dice cuáles de ellas corresponden a posiciones ocupadas por barcos. Bernardo gana, y luego descubre las posiciones de todos los barcos de Arnaldo. Determina el valor más bajo de $m$ para el que Bernardo puede garantizar su victoria.

Dado un triángulo $ABC$ , con $\angle A$ recto, conocemos: el punto $T$ de tangencia de la circunferencia inscrita en $ABC$ con la hipotenusa $BC$ , el punto $D$ de intersección de la bisectriz de $\angle B$ con el lado AC y el punto E de intersección de la bisectriz de $\angle C$ con el lado $AB$ . Describe una construcción con regla y compás para los puntos $A$ , $B$ , y $C$ . Justifica.

Los estudiantes de la clase de Pedro practican la suma y la multiplicación de números enteros. El profesor escribe los números del $1$ al $9$ en nueve tarjetas, una para cada número, y los coloca en una urna. Pedro saca tres tarjetas, y debe calcular la suma y el producto de los tres números correspondientes. Ana y Julián hacen lo mismo, vaciando la urna. Pedro informa al profesor que ha elegido tres números consecutivos cuyo producto es $5$ veces la suma. Ana informa que no tiene ningún número primo, pero sí dos consecutivos y que el producto de estos tres números es $4$ veces la suma de ellos. ¿Qué números sacó Julián?

Sea $S = \{1, 2, 3, \ldots , 2046, 2047, 2048\}$. Se dice que dos subconjuntos $A$ y $B$ de $S$ son amigos si se cumplen las siguientes condiciones:\nNo comparten ningún elemento.\nAmbos tienen el mismo número de elementos.\nEl producto de todos los elementos de $A$ es igual al producto de todos los elementos de $B$.\nDemostrar que existen dos subconjuntos de $S$ que son amigos tales que cada uno de ellos contiene al menos $738$ elementos.

Determinar si existe una secuencia infinita de enteros positivos no necesariamente distintos $a_1, a_2, a_3,\ldots$ tal que para cualquier entero positivo $m$ y $n$ donde $1 \leq m < n$, el número $a_{m+1} + a_{m+2} + \ldots + a_{n}$ no es divisible por $a_1 + a_2 + \ldots + a_m$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle{BAD} = 90^{\circ}$ y sus diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sea $M$ el punto medio del lado $CD$, y $E$ la intersección de $BM$ y $AC$. Sea $F$ un punto en el lado $AD$ tal que $BM$ y $EF$ son perpendiculares. Si $CE = AF\sqrt{2}$ y $FD = CE\sqrt{2}$, demostrar que $ABCD$ es un cuadrado.

Dado un triángulo acutángulo $PA_1B_1$ inscrito en el círculo $\Gamma$ con radio $1$. Para todos los enteros $n \ge 1$ se definen:\n$C_n$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $A_nB_n$\n$O_n$ es el centro de $\odot (PA_nB_n)$\n$A_{n+1}$ es el pie de la perpendicular desde $C_n$ a $PA_n$\n$B_{n+1} \equiv PB_n \cap O_nA_{n+1}$\nSi $PC_1 =\sqrt{2}$, hallar la longitud de $PO_{2015}$

Se dibujan $3n$ líneas en el plano ( $n > 1$ ), de tal manera que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres de ellas concurrentes. Demostrar que, si $2n$ de las líneas son de color rojo y las otras $n$ líneas azules, hay al menos dos regiones del plano tales que todos sus bordes son rojos. Nota: para cada región, todos sus bordes están contenidos en el conjunto original de líneas, y ninguna línea pasa por la región.

Demostrar que, para cualquier entero $n$, el número $n^3 - 9n + 27$ no es divisible por $81$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$, sea $M$ el punto medio de su lado $AC$, y sea $Z$ la recta que pasa por $C$ perpendicular a $AB$. El círculo que pasa por los puntos $B$, $C$ y $M$ interseca a la recta $Z$ en los puntos $C$ y $Q$. Encuentra el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$.