Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que todos sus vértices están en un círculo. Demuestre que $AD$, $BE$ y $CF$ son concurrentes si y sólo si $\frac {AB}{BC}\cdot\frac {CD}{DE}\cdot\frac {EF}{FA}= 1$.

Sean $n$ $\geq$ $2$ y $k$ $\geq$ $2$ enteros positivos. Un gato y un ratón están jugando Wim , que es un juego de eliminación de piedras. El juego comienza con $n$ piedras y se turnan para quitar piedras, comenzando el gato. En cada turno se les permite quitar $1$ , $2$ , $\dotsb$ , o $k$ piedras, y el jugador que no puede quitar ninguna piedra en su turno pierde. Un mapache encuentra a Wim muy aburrido y crea Wim 2 , que es Wim pero con la siguiente regla adicional: No puedes quitar el mismo número de piedras que tu oponente quitó en el turno anterior . Encuentre todos los valores de $k$ tales que para cada $n$ , el gato tiene una estrategia ganadora en Wim si y sólo si tiene una estrategia ganadora en Wim 2.

Sean \(x\) e \(y\) números reales positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[\n\begin{cases}\n\sqrt{x}\left(2 + \dfrac{5}{x+y}\right) = 3 \\\\\n\sqrt{y}\left(2 - \dfrac{5}{x+y}\right) = 2\n\end{cases}\n\] Encuentre el valor máximo de \(x + y\) .

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ el segundo punto de intersección de $AI$ con $\Gamma$ . La línea paralela a $BC$ que pasa por $I$ interseca a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Las líneas $PD$ y $QD$ intersecan a $BC$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Demuestre que los triángulos $IEF$ y $ABC$ son similares.

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $J$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ . Los puntos $D$ , $E$ y $F$ son los pies de las alturas desde $A$ , $B$ y $C$ , respectivamente. La línea $AD$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $P$ . El circuncírculo de $EFP$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $Q$ . Sea $K$ el segundo punto de intersección de $JH$ con $\Gamma$ . Demuestre que $K$ , $D$ y $Q$ son colineales.

Hay una fila con $2024$ celdas. Ana y Beto se turnan para jugar, comenzando Ana. En cada turno, el jugador selecciona una celda vacía y coloca un dígito en ese espacio. Una vez que las $2024$ celdas están llenas, se considera el número obtenido al leer de izquierda a derecha, ignorando cualquier cero inicial. Beto gana si el número resultante es múltiplo de $99$ , de lo contrario, Ana gana. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y descríbala.

Sea $n$ un entero positivo con $k$ dígitos. Un número $m$ se llama un $alero$ de $n$ si existen dígitos distintos $a_1$ , $a_2$ , $\dotsb$ , $a_k$ , todos diferentes entre sí y de cero, tales que $m$ se obtiene sumando el dígito $a_i$ al $i$ - ésimo dígito de $n$ , y ninguna suma excede de 9. Por ejemplo, si $n$ $=$ $2024$ y elegimos $a_1$ $=$ $2$ , $a_2$ $=$ $1$ , $a_3$ $=$ $5$ , $a_4$ $=$ $3$ , entonces $m$ $=$ $4177$ es un alero de $n$ , pero si elegimos los dígitos $a_1$ $=$ $2$ , $a_2$ $=$ $1$ , $a_3$ $=$ $5$ , $a_4$ $=$ $6$ , entonces no obtenemos un alero de $n$ , porque $4$ $+$ $6$ excede de $9$ . Encuentre el $n$ más pequeño que es múltiplo de $2024$ que tiene un alero que también es múltiplo de $2024$ .

Sea $n$ un entero positivo, $n > 1$ . El número $n$ es maravilloso si el número es divisible por la suma de sus factores primos. Por ejemplo; $90$ es maravilloso, porque $90 = 2 \times 3^2\times 5$ y $2 + 3 + 5 = 10, 10$ divide a $90$ . Demuestra que existe un número 'maravilloso' con al menos $10^{2002}$ números primos distintos.

Considera el conjunto $A = \{1, 2, ..., n\}$ . Para cada entero $k$ , sea $r_k$ la mayor cantidad de elementos diferentes de $A$ que podemos elegir de modo que la diferencia entre dos números elegidos sea siempre diferente de $k$ . Determina el valor más alto posible de $r_k$ , donde $1 \le k \le \frac{n}{2}$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que sus diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sea $P$ la intersección de $AC$ y $BD$ , sea $M$ el punto medio de $AB$ . Demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico, si y sólo si, las rectas $PM$ y $DC$ son perpendiculares.