La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CyclicISLscelesTrapezoid 388 publicaciones CyclicISLscelesTrapezoid #1 h 8 de julio de 2023, 11:50 p. m. • 1 Y Y por cubres Lucy comienza escribiendo $s$ tuplas de $2022$ valores enteros en una pizarra. Después de hacer eso, puede tomar cualesquiera dos tuplas (no necesariamente distintas) $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ y $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{2022})$ que ya haya escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla: \begin{align*} \mathbf{v}+\mathbf{w}&=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022}) \\ \mathbf{v} \lor \mathbf{w}&=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022})) \end{align*} y luego escribir esta tupla en la pizarra. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier tupla de $2022$ valores enteros en la pizarra después de un número finito de pasos. ¿Cuál es el número mínimo posible $s$ de tuplas que escribió inicialmente? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. S.Ragnork1729 218 publicaciones S.Ragnork1729 #1 h 5 de julio de 2023, 1:19 PM • 1 Y Y por Johnson100 Hay $n$ segmentos de recta en el plano, sin que tres de ellos se corten en un mismo punto, y cada par se corta una vez en sus respectivos interiores. Tony y sus $2n - 1$ amigos se encuentran cada uno en un extremo distinto de un segmento de recta. Tony desea enviar regalos de Navidad a cada uno de sus amigos de la siguiente manera: Primero, elige un extremo de cada segmento como un "sumidero". Luego, coloca el regalo en el extremo del segmento en el que él se encuentra. El regalo se mueve de la siguiente manera: $\bullet$ Si está en un segmento de recta, se mueve hacia el sumidero. $\bullet$ Cuando llega a una intersección de dos segmentos, cambia el segmento de recta por el que viaja y comienza a moverse hacia el nuevo sumidero. Si el regalo llega a un extremo, el amigo que se encuentra en ese extremo puede recibir su regalo. Demuestre que Tony puede enviar regalos exactamente a $n$ de sus $2n - 1$ amigos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por S.Ragnork1729, 5 de julio de 2023, 2:00 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:53 p. m. • 3 Y Y por aopsuser305, Adventure10, Mango247 Resuelva el sistema de ecuaciones en números reales: \[ \begin{cases*} (x - 1)(y - 1)(z - 1) = xyz - 1,\\ (x - 2)(y - 2)(z - 2) = xyz - 2.\\ \end{cases*} \] Vladimir Bragin Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:57 p. m. • 3 Y Y por aopsuser305, Adventure10, Mango247 Ann y Max juegan un juego en un tablero de $100 \times 100$. Primero, Ann escribe un entero del 1 al 10 000 en cada casilla del tablero de modo que cada número se utilice exactamente una vez. Luego, Max elige una casilla en la columna más a la izquierda y coloca una ficha en esta casilla. Él realiza una serie de movimientos para llegar a la columna más a la derecha. En cada movimiento, la ficha se desplaza a una casilla adyacente por lado o vértice. Por cada casilla visitada (incluyendo la inicial), Max le paga a Ann la cantidad de monedas igual al número escrito en dicha casilla. Max desea pagar lo menos posible, mientras que Ann desea escribir los números de tal manera que maximice la cantidad que recibirá. ¿Cuánto dinero le pagará Max a Ann si ambos jugadores siguen sus mejores estrategias? Lev Shabanov Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:26 a. m. • 2 Y Y por cubres, mxsail Sean $a,b,c,x,y,z$ números reales positivos, tales que $a+b+c=xyz=1$. Demuestre que: $$ \frac{x^2}{3a+2}+\frac{y^2}{3b+2}+\frac{z^2}{3c+2} \ge 1 $$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:28 a. m. • 1 Y Y por mxsail Demuestre que el número $ \underbrace{88\dots8}_\text{2024\; \textrm{veces}}$ es divisible por 2024. Z K Y

Sea $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ una función biyectiva y suponga que $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es una función tal que: Para todo natural $x$, $$\underbrace{f(\cdots (f}_{x^{2023}\;f\text{'s}}(x)))=x. $$ Para todo par de naturales $x,y$ tales que $x|y$, tenemos $f(x)|g(y)$. Demuestre que $f(x)=x$. Propuesto por Pulkit Sinha

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:31 a. m. • 1 Y Y por mxsail Sea $M$ un conjunto de 999 puntos en el plano con la propiedad: Para cualesquiera 3 puntos distintos en $M$ podemos elegir dos de ellos, tales que la distancia entre ellos sea menor que $1$. a) Demuestre que existe un disco de radio no mayor a 1 que cubre al menos 500 puntos en $M$. b) ¿Es cierto que siempre existe un disco de radio no mayor a 1 que cubre al menos 501 puntos en $M$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CyclicISLscelesTrapezoid 388 publicaciones CyclicISLscelesTrapezoid #1 h 8 de julio de 2023, 10:40 PM • 2 Y Y por Rounak_iitr, Amir Hossein Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$. ¿Podría darse el caso de que, para todo entero positivo $k$, $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. v_Enhance 6987 publicaciones v_Enhance #1 h 8 de julio de 2014, 7:15 a. m. • 44 Y Y por Amir Hossein, gold46, Kunihiko_Chikaya, gobathegreat, shinichiman, buratinogigle, mathuz, eziz, XmL, Mediocrity, Hydrogen-Helium, Wave-Particle, quangminhltv99, anantmudgal09, Davi-8191, WizardMath, tenplusten, me9hanics, Tawan, e_plus_pi, AlastorMoody, enzoP14, mathematicsy, Jc426, Assassino9931, StopSine, HamstPan38825, v4913, nargesrafi, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, farhad.fritl y otros 11 usuarios. El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$. Los puntos $S$ y $T$ yacen sobre los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, tales que $H$ se encuentra dentro del triángulo $SCT$ y \[ \angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}. \] Demuestre que la recta $BD$ es tangente al circuncírculo del triángulo $TSH$. Z K Y