La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. S.Ragnork1729 218 publicaciones S.Ragnork1729 #1 h 5 de julio de 2023, 1:19 PM • 1 Y Y por Johnson100 Hay $n$ segmentos de recta en el plano, sin que tres de ellos se corten en un mismo punto, y cada par se corta una vez en sus respectivos interiores. Tony y sus $2n - 1$ amigos se encuentran cada uno en un extremo distinto de un segmento de recta. Tony desea enviar regalos de Navidad a cada uno de sus amigos de la siguiente manera: Primero, elige un extremo de cada segmento como un "sumidero". Luego, coloca el regalo en el extremo del segmento en el que él se encuentra. El regalo se mueve de la siguiente manera: $\bullet$ Si está en un segmento de recta, se mueve hacia el sumidero. $\bullet$ Cuando llega a una intersección de dos segmentos, cambia el segmento de recta por el que viaja y comienza a moverse hacia el nuevo sumidero. Si el regalo llega a un extremo, el amigo que se encuentra en ese extremo puede recibir su regalo. Demuestre que Tony puede enviar regalos exactamente a $n$ de sus $2n - 1$ amigos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por S.Ragnork1729, 5 de julio de 2023, 2:00 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. crazyeyemoody907 451 publicaciones crazyeyemoody907 #1 h 8 de julio de 2023, 10:34 PM • 6 Y Y por v4913, GeoKing, centslordm, Rounak_iitr, Funcshun840, farhad.fritl Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con altura $\overline{AH}$ , y sea $P$ un punto variable tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de $\angle PBC$ y $\angle PCB$ , respectivamente, se cortan en $\overline{AH}$ . Sea $k$ la recta que corta a $\overline{AC}$ en $E$ , $\ell$ la recta que corta a $\overline{AB}$ en $F$ , y $\overline{EF}$ la recta que corta a $\overline{AH}$ en $Q$ . Demuestre que a medida que $P$ varía, la recta $PQ$ pasa por un punto fijo. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por crazyeyemoody907, 23 de septiembre de 2023, 7:55 PM Razón: E -> $E$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ACGNmath 330 publicaciones ACGNmath #1 h 24 de junio de 2023, 12:29 a. m. Y por Encuentre todos los enteros positivos $k$ tales que existen enteros positivos $a, b$ tales que \[a^2+4=(k^2-4)b^2.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CyclicISLscelesTrapezoid 388 publicaciones CyclicISLscelesTrapezoid #1 h 8 de julio de 2023, 11:50 p. m. • 1 Y Y por cubres Lucy comienza escribiendo $s$ tuplas de $2022$ valores enteros en una pizarra. Después de hacer eso, puede tomar cualesquiera dos tuplas (no necesariamente distintas) $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ y $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{2022})$ que ya haya escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla: \begin{align*} \mathbf{v}+\mathbf{w}&=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022}) \\ \mathbf{v} \lor \mathbf{w}&=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022})) \end{align*} y luego escribir esta tupla en la pizarra. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier tupla de $2022$ valores enteros en la pizarra después de un número finito de pasos. ¿Cuál es el número mínimo posible $s$ de tuplas que escribió inicialmente? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ahiles 374 publicaciones Ahiles #1 h 20 de junio de 2010, 12:38 PM • 6 Y Y por ahmedosama, Miku_, megarnie, Adventure10 y otros 2 usuarios Encuentre todos los enteros $n$ , $n \ge 1$ , tales que $n \cdot 2^{n+1}+1$ sea un cuadrado perfecto. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:26 a. m. • 2 Y Y por cubres, mxsail Sean $a,b,c,x,y,z$ números reales positivos, tales que $a+b+c=xyz=1$. Demuestre que: $$ \frac{x^2}{3a+2}+\frac{y^2}{3b+2}+\frac{z^2}{3c+2} \ge 1 $$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CyclicISLscelesTrapezoid 388 publicaciones CyclicISLscelesTrapezoid #1 h 8 de julio de 2023, 10:40 PM • 2 Y Y por Rounak_iitr, Amir Hossein Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$. ¿Podría darse el caso de que, para todo entero positivo $k$, $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. v_Enhance 6987 publicaciones v_Enhance #1 h 8 de julio de 2014, 7:15 a. m. • 44 Y Y por Amir Hossein, gold46, Kunihiko_Chikaya, gobathegreat, shinichiman, buratinogigle, mathuz, eziz, XmL, Mediocrity, Hydrogen-Helium, Wave-Particle, quangminhltv99, anantmudgal09, Davi-8191, WizardMath, tenplusten, me9hanics, Tawan, e_plus_pi, AlastorMoody, enzoP14, mathematicsy, Jc426, Assassino9931, StopSine, HamstPan38825, v4913, nargesrafi, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, farhad.fritl y otros 11 usuarios. El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$. Los puntos $S$ y $T$ yacen sobre los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, tales que $H$ se encuentra dentro del triángulo $SCT$ y \[ \angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}. \] Demuestre que la recta $BD$ es tangente al circuncírculo del triángulo $TSH$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:28 a. m. • 1 Y Y por mxsail Demuestre que el número $ \underbrace{88\dots8}_\text{2024\; \textrm{veces}}$ es divisible por 2024. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ahiles 374 publicaciones Ahiles #1 h 20 de junio de 2010, 12:38 PM • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario. Un rectángulo de $9\times 7$ está recubierto con baldosas de dos tipos: baldosas en forma de L compuestas por tres cuadrados unitarios (pueden rotarse repetidamente $90^\circ$) y baldosas cuadradas compuestas por cuatro cuadrados unitarios. Sea $n\ge 0$ el número de baldosas de $2 \times 2$ que pueden utilizarse en dicho recubrimiento. Encuentre todos los valores de $n$. Z K Y