En un triángulo acutángulo $ABC$ con $|AB| \not= |AC|$ , sea $I$ el incentro y $O$ el circuncentro. La circunferencia inscrita es tangente a $\overline{BC}, \overline{CA}$ y $\overline{AB}$ en $D,E$ y $F$ respectivamente. Pruebe que si la recta paralela a $EF$ que pasa por $I$ , la recta paralela a $AO$ que pasa por $D$ y la altura desde $A$ son concurrentes, entonces el punto de concurrencia es el ortocentro del triángulo $ABC$ .

Sea $n$ un entero positivo. Un tablero de $n\times n$ que consiste de $n^2$ celdas, cada una siendo un cuadrado unitario coloreado ya sea negro o blanco, se llama convexo si para cada celda coloreada de negro, tanto la celda directamente a la izquierda de ella como la celda directamente arriba de ella están también coloreadas de negro. Definimos la belleza de un tablero como el número de pares de sus celdas $(u,v)$ tales que $u$ es negra, $v$ es blanca, y $u$ y $v$ están en la misma fila o columna. Determine la máxima belleza posible de un tablero convexo de $n\times n$.

Para enteros positivos $a$ y $b$ , sea $M(a,b)$ denotar su máximo común divisor. Determine todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x\mid m$ y $y\mid n$ , $$M(x+y,mn)>1.$$

Sea $u$ un número racional positivo y $m$ un entero positivo. Defina una sucesión $q_1,q_2,q_3,\dotsc$ tal que $q_1=u$ y para $n\geqslant 2$ : $$\text{si }q_{n-1}=\frac{a}{b}\text{ para algunos enteros positivos }a\text{ y }b\text{ relativamente primos, entonces }q_n=\frac{a+mb}{b+1}.$$ Determine todos los enteros positivos $m$ tales que la sucesión $q_1,q_2,q_3,\dotsc$ es eventualmente periódica para cualquier número racional positivo $u$ . Nota: Una sucesión $x_1,x_2,x_3,\dotsc $ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $c$ y $t$ tales que $x_n=x_{n+t}$ para todo $n\geqslant c$ .

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ . Sean $l_B$ y $l_C$ dos rectas que pasan por los puntos $B$ y $C$ , respectivamente, tales que $l_B \parallel l_C$ . Las segundas intersecciones de $l_B$ y $l_C$ con $\omega$ son $D$ y $E$ , respectivamente. Asuma que $D$ y $E$ están en el mismo lado de $BC$ que $A$ . Sea $DA$ intersectar a $l_C$ en $F$ y sea $EA$ intersectar a $l_B$ en $G$ . Si $O$ , $O_1$ y $O_2$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$ , $ADG$ y $AEF$ , respectivamente, y $P$ es el circuncentro del triángulo $OO_1O_2$ , pruebe que $l_B \parallel OP \parallel l_C$ .

Sea $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión definida recursivamente tal que $x_1=\sqrt{2}$ y $$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}\text{ para }n\in \mathbb{N}.$$ Pruebe que la siguiente desigualdad se cumple: $$\frac{x_1^2}{2x_1x_2-1}+\frac{x_2^2}{2x_2x_3-1}+\dotsc +\frac{x_{2018}^2}{2x_{2018}x_{2019}-1}+\frac{x_{2019}^2}{2x_{2019}x_{2020}-1}>\frac{2019^2}{x_{2019}^2+\frac{1}{x_{2019}^2}}.$$

Cada entero positivo está marcado con un número del conjunto $\{ 0,1,2\}$ , de acuerdo con la siguiente regla: $$\text{si un entero positivo }k\text{ está marcado con }j,\text{ entonces el entero }k+j\text{ está marcado con }0.$$ Sea $S$ la suma de las marcas de los primeros $2019$ enteros positivos. Determine el máximo valor posible de $S$ .

La secuencia de polinomios $(a_n)$ está definida por $a_0=0$ , $a_1=x+2$ y $a_n=a_{n-1}+3a_{n-1}a_{n-2} +a_{n-2}$ para $n>1$. (a) Muestre para todos los enteros positivos $k,m$ : si $k$ divide a $m$ entonces $a_k$ divide a $a_m$. (b) Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que la suma de las raíces del polinomio $a_n$ es un entero.

Sea $n$ un entero positivo. Calcule la suma $\sum_{k=1}^n\ \ {\sum_{1\le i_1 < \ldots < i_k\le n}^{}{\frac {2^k}{(i_1 + 1)(i_2 + 1)\ldots (i_k + 1)}}}$

Determine si existen dos secuencias de puntos infinitos $A_1,A_2,\ldots$ y $B_1,B_2,\ldots$ en el plano, tales que para todos $i,j,k$ con $ 1\le i < j < k$, (i) $B_k$ está en la línea que pasa por $A_i$ y $A_j$ si y sólo si $ k=i+j$. (ii) $A_k$ está en la línea que pasa por $B_i$ y $B_j$ si y sólo si $ k=i+j$.