Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A.$ Desde cualquier vértice excepto $E$ salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$ se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$ . Demuestra que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]

Para todo $x$ racional que satisface $0 \leq x < 1$ , la función $f$ está definida por \[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$ , encuentra, con prueba, $f(x)$ .

Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestra que $p$ es divisible por $1979$ .

Encuentra los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ( $\sqrt t $ significa la raíz cuadrada positiva de $t$ ) .

Sea $n \geq 2$ un entero. Encontrar la cardinalidad máxima de un conjunto $M$ de pares $(j, k)$ de enteros, $1 \leq j < k \leq n$, con la siguiente propiedad: Si $(j, k) \in M$, entonces $(k,m) \not \in M$ para cualquier $m.$

Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ está coloreado en rojo o azul. En todo triángulo que tiene todos los lados coloreados existe un lado rojo y un lado azul. Demostrar que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color.

Encontrar todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).\]

De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de diferentes colores fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de la última alternativa?

Demostrar que en el plano euclidiano todo polígono regular que tiene un número par de lados puede ser diseccionado en rombos. (Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son todos de igual longitud).

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que $$f(x)+f(yf(x)+f(y))=f(x+2f(y))+xy$$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$ .