La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jgamer2768 7 publicaciones jgamer2768 #1 h 17 de octubre de 2024, 8:41 PM Y por Sean \(x\) e \(y\) números reales positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} \sqrt{x}\left(2 + \dfrac{5}{x+y}\right) = 3 \\\\ \sqrt{y}\left(2 - \dfrac{5}{x+y}\right) = 2 \end{cases} \] Encuentre el valor máximo de \(x + y\). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jgamer2768, 19 de octubre de 2024, 12:00 AM Razón: formato Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jgamer2768 7 publicaciones jgamer2768 #1 h 17 de octubre de 2024, 3:16 PM Y por Sea $n$ un entero positivo con $k$ dígitos. Un número $m$ se llama un $alero$ de $n$ si existen dígitos distintos $a_1$ , $a_2$ , $\dotsb$ , $a_k$ , todos diferentes entre sí y de cero, tales que $m$ se obtiene sumando el dígito $a_i$ al $i$-ésimo dígito de $n$ , y ninguna suma excede 9. Por ejemplo, si $n$ $=$ $2024$ y elegimos $a_1$ $=$ $2$ , $a_2$ $=$ $1$ , $a_3$ $=$ $5$ , $a_4$ $=$ $3$ , entonces $m$ $=$ $4177$ es un alero de $n$ , pero si elegimos los dígitos $a_1$ $=$ $2$ , $a_2$ $=$ $1$ , $a_3$ $=$ $5$ , $a_4$ $=$ $6$ , entonces no obtenemos un alero de $n$ , porque $4$ $+$ $6$ excede $9$ . Encuentre el $n$ más pequeño que sea múltiplo de $2024$ que tenga un alero que también sea múltiplo de $2024$ . Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por jgamer2768, 18 de octubre de 2024, 11:42 PM Razón: formato Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 1 de sep. de 2010, 2:54 a. m. • 2 Y Y por Smkh, Adventure10 Sea $m$ un entero positivo y $x_0, y_0$ enteros tales que $x_0, y_0$ son primos entre sí, $y_0$ divide a $x_0^2+m$ , y $x_0$ divide a $y_0^2+m$ . Demuestre que existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x$ e $y$ son primos entre sí, $y$ divide a $x^2 + m$ , $x$ divide a $y^2 + m$ , y $x + y \leq m+ 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jgamer2768 7 publicaciones jgamer2768 #1 h 17 de octubre de 2024, 4:54 PM Y por Hay una fila con $2024$ celdas. Ana y Beto juegan por turnos, comenzando Ana. En cada turno, el jugador selecciona una celda vacía y coloca un dígito en ese espacio. Una vez que todas las $2024$ celdas están llenas, se considera el número obtenido al leer de izquierda a derecha, ignorando cualquier cero a la izquierda. Beto gana si el número resultante es un múltiplo de $99$, de lo contrario Ana gana. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y descríbala. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. djb86 445 publicaciones djb86 #1 h 19 de abril de 2013, 2:25 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un cuadrado $ABCD$ está inscrito en un círculo. Si $M$ es un punto en el arco menor $AB$, demuestre que \[MC \cdot MD > 3\sqrt{3} \cdot MA \cdot MB.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. gavrilos 233 publicaciones gavrilos #1 h 23 de junio de 2014, 11:27 a. m. • 4 Y Y por HWenslawski, Adventure10, Mango247, ItsBesi Para números reales positivos $a,b,c$ con $abc=1$ demuestre que $\left(a+\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\frac{1}{a}\right)^{2}\geq 3(a+b+c+1)$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Itama 78 publicaciones Itama #1 h 23 de junio de 2014, 12:05 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para un entero positivo $n$, dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: Dada una pila de $s$ piedras, los jugadores toman turnos alternativamente, comenzando $A$. En cada turno, al jugador se le permite tomar una piedra, un número primo de piedras o un múltiplo positivo de $n$ piedras. El ganador es quien toma la última piedra. Suponiendo que tanto $A$ como $B$ juegan de manera perfecta, ¿para cuántos valores de $s$ el jugador $A$ no puede ganar? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Itama, 28 de junio de 2014, 12:29 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. djb86 445 publicaciones djb86 #1 h 19 de abril de 2013, 2:31 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un triángulo $ABC$, $I$ es el incentro y $D, E, F$ son los puntos de tangencia del incírculo con $BC, CA, AB$, respectivamente. La bisectriz del ángulo $BIC$ corta a $BC$ en $M$, y la recta $AM$ interseca a $EF$ en $P$. Demuestre que $DP$ biseca el ángulo $FDE$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 1 de sep. de 2010, 4:39 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro, $S$ su baricentro y $H$ su ortocentro. Denotemos por $A_1, B_1$ y $C_1$ los centros de los círculos circunscritos a los triángulos $CHB, CHA$ y $AHB$, respectivamente. Demuestre que el triángulo $ABC$ es congruente con el triángulo $A_1B_1C_1$ y que el círculo de los nueve puntos del $\triangle ABC$ es también el círculo de los nueve puntos del $\triangle A_1B_1C_1$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jgamer2768 7 publicaciones jgamer2768 #1 h 17 de octubre de 2024, 6:12 PM • 2 Y Y por ehuseyinyigit, Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $J$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ son los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. La recta $AD$ corta a $\Gamma$ nuevamente en $P$. El circuncírculo de $EFP$ corta a $\Gamma$ nuevamente en $Q$. Sea $K$ el segundo punto de intersección de $JH$ con $\Gamma$. Demuestre que $K$, $D$ y $Q$ son colineales. Z K Y