Considere las secuencias $(a_n), (b_n)$ definidas por \[a_1=3, \quad b_1=100 , \quad a_{n+1}=3^{a_n} , \quad b_{n+1}=100^{b_n} \] Encuentre el entero más pequeño $m$ para el cual $b_m > a_{100}.$

Sean $m$ enteros positivos $a_1, \dots , a_m$ dados. Demuestre que existen menos de $2^m$ enteros positivos $b_1, \dots , b_n$ tales que todas las sumas de distintos $b_k$ son distintos y todos los $a_i \ (i \leq m)$ aparecen entre ellos.

Dentro de un triángulo equilátero $ABC$ se construyen los puntos $P, Q$ y $R$ tales que \[\angle QAB = \angle PBA = 15^\circ,\ \angle RBC = \angle QCB = 20^\circ,\ \angle PCA = \angle RAC = 25^\circ.\] Determine los ángulos del triángulo $PQR.$

Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$. $F$ es una colección de $16$ subconjuntos diferentes de $K$, y se sabe que cualesquiera tres miembros de $F$ tienen al menos un elemento en común. Demuestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común.

Determinar todos los números reales a para los que existen reales positivos $x_{1}, \ldots, x_{5}$ que satisfacen las relaciones $ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a,$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2},$ $ \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}.$

Encontrar todas las bases de logaritmos en las que un número real positivo puede ser igual a su logaritmo o demostrar que no existe ninguno.

Demostrar que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$

Sea $R$ un conjunto de exactamente $6$ elementos. Un conjunto $F$ de subconjuntos de $R$ se llama una $S$ - familia sobre $R$ si y solo si satisface las siguientes tres condiciones: (i) Para ningunos dos conjuntos $X, Y$ en $F$ es $X \subseteq Y$ ; (ii) Para cualesquiera tres conjuntos $X, Y,Z$ en $F$ , $X \cup Y \cup Z \neq R,$ (iii) $\bigcup_{X \in F} X = R$

Dados números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$ , con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$ , determinar si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, en caso afirmativo, dar estos valores.

Demuestra que para cualesquiera vectores $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Nota. Aquí $\times$ denota el producto vectorial.