Sea $n$ un entero positivo. Una secuencia de $n$ enteros positivos (no necesariamente distintos) se llama completa si satisface la siguiente condición: para cada entero positivo $k\geq2$, si el número $k$ aparece en la secuencia entonces también lo hace el número $k-1$, y además la primera ocurrencia de $k-1$ viene antes de la última ocurrencia de $k$. Para cada $n$, ¿cuántas secuencias completas hay?

Para $n$ un entero positivo impar, los cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez de $n\times n$ se colorean alternativamente de blanco y negro, con las cuatro esquinas coloreadas de negro. Un it tromino es una forma de $L$ formada por tres cuadrados unitarios conectados. ¿Para qué valores de $n$ es posible cubrir todos los cuadrados negros con trominos no superpuestos? Cuando es posible, ¿cuál es el número mínimo de trominos necesarios?

Sea $n$ un entero positivo. Cada punto $(x,y)$ en el plano, donde $x$ e $y$ son enteros no negativos con $x+y<n$, está coloreado de rojo o azul, sujeto a la siguiente condición: si un punto $(x,y)$ es rojo, entonces también lo son todos los puntos $(x',y')$ con $x'\leq x$ e $y'\leq y$. Sea $A$ el número de maneras de elegir $n$ puntos azules con distintas coordenadas $x$, y sea $B$ el número de maneras de elegir $n$ puntos azules con distintas coordenadas $y$. Pruebe que $A=B$.

Demostrar que las ecuaciones funcionales \[f(x + y) = f(x) + f(y),\] \[ \text{and} \qquad f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb R)\] son equivalentes.

Consideramos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$. Determina todos los puntos $R$ de $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.

Un círculo $C$ con centro $O$ sobre la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB,AC$. Si el punto $P$ en $AB$ y el punto $Q$ en $AC$ son seleccionados tal que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$, demuestra que el segmento de línea $PQ$ es tangente al círculo $C$, y demuestra lo contrario.

Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto.

Dos círculos en un plano se intersectan. $A$ es uno de los puntos de intersección. Partiendo simultáneamente desde $A$, dos puntos se mueven con velocidad constante, cada uno viajando a lo largo de su propio círculo en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a $A$ simultáneamente después de una revolución. Demuestra que existe un punto fijo $P$ en el plano tal que los dos puntos están siempre equidistantes de $P$.

Sea $N$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$, y sea $M$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$. Demuestra que $N > M$.

Dado el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$, determine el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ tomado sobre todos los números no negativos $x_i$ con suma $a.$