Sea $ABCD$ un cuadrilátero arbitrario. Se construyen cuadrados con centros $M_1, M_2, M_3, M_4$ en $AB,BC,CD,DA$ respectivamente, todos hacia afuera o todos hacia adentro. Demuestra que $M_1 M_3=M_2 M_4$ y $M_1 M_3\perp M_2 M_4$.

Hay una ecuación $\sum_{i=1}^{n}{\frac{b_i}{x-a_i}}=c$ en $x$, donde todos $b_i >0$ y $\{a_i\}$ es una secuencia estrictamente creciente. Demuestra que tiene $n-1$ raíces tal que $x_{n-1}\le a_n$, y $a_i \le x_i$ para cada $i\in\mathbb{N}, 1\le i\le n-1$.

Demostrar que $\sqrt[n]{\sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{n+1}}}\ge 1$ para $2 \le n \in \mathbb{N}$ .

Resolver el sistema de ecuaciones para las variables $x,y$ , donde $\{a,b\}\in\mathbb{R}$ son constantes y $a\neq 0$ . \[x^2 + xy = a^2 + ab\] \[y^2 + xy = a^2 - ab\]

Demostrar que $(a!\cdot b!) | (a+b)!$ $\forall a,b\in\mathbb{N}$ .

Demostrar que los dos últimos dígitos de $9^{9^{9}}$ y $9^{9^{9^{9}}}$ son los mismos en representación decimal.

Demostrar que $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le \frac{a+b+c}{2}$ , donde $a,b,c\in\mathbb{R}^{+}$ .

Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna línea se encuentra con más de dos de los círculos, demuestre que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{\frac{1}{O_iO_j}}\leq{\frac{(n-1)\pi}{4}}. \]

Encuentre todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para todos los reales $x,y,z,t$ .

Sea $n\geq2$ un entero positivo, con divisores $1=d_1<d_2<\,\ldots<d_k=n$ . Demuestre que $d_1d_2+d_2d_3+\,\ldots\,+d_{k-1}d_k$ es siempre menor que $n^2$ , y determine cuándo es un divisor de $n^2$ .