En el tetraedro $ABCD,\angle BDC=90^o$ y el pie de la perpendicular desde $D$ a $ABC$ es la intersección de las alturas de $ABC$. Demostrar que: \[ (AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2). \] ¿Cuándo tenemos igualdad?

Demostrar que la ecuación $\sqrt{2-x^2}+\sqrt[3]{3-x^3}=0$ no tiene raíces reales.

Dado $\triangle ABC$, sea $R$ su circunradio y $q$ el perímetro de su triángulo excentral. Pruebe que $q\le 6\sqrt{3} R$.

Sea $\alpha + \beta +\gamma = \pi$. Pruebe que $\sum_{cyc}{\sin 2\alpha} = 2\cdot \left(\sum_{cyc}{\sin \alpha}\right)\cdot\left(\sum_{cyc}{\cos \alpha}\right)- 2\sum_{cyc}{\sin \alpha}$.

Cada lado de un $\triangle ABC$ arbitrario se divide en partes iguales, y se dibujan líneas paralelas a $AB,BC,CA$ a través de cada uno de estos puntos, cortando así $\triangle ABC$ en pequeños triángulos. A los puntos se les asigna un número de la siguiente manera: $(1)$ A $A,B,C$ se les asigna $1,2,3$ respectivamente $(2)$ A los puntos en $AB$ se les asigna $1$ o $2$ $(3)$ A los puntos en $BC$ se les asigna $2$ o $3$ $(4)$ A los puntos en $CA$ se les asigna $3$ o $1$ Pruebe que debe existir un triángulo pequeño cuyos vértices estén marcados por $1,2,3$.

Sea $\{x_i\}, 1\le i\le 6$ un conjunto dado de seis enteros, ninguno de los cuales es divisible por $7$. $(a)$ Pruebe que al menos una de las expresiones de la forma $x_1\pm x_2\pm x_3\pm x_4\pm x_5\pm x_6$ es divisible por $7$, donde los signos $\pm$ son independientes entre sí. $(b)$ Generalice el resultado a todo número primo.

Sean $ABCD$ y $A'B'C'D'$ dos cuadrados arbitrarios en el plano que están orientados en la misma dirección. Pruebe que el cuadrilátero formado por los puntos medios de $AA',BB',CC',DD'$ es un cuadrado.

En $\triangle ABC$, demuestra que $1< \sum_{cyc}{\cos A}\le \frac{3}{2}$.

Para $n$ par, demuestra que $\sum_{i=1}^{n}{\left((-1)^{i+1}\cdot\frac{1}{i}\right)}=2\sum_{i=1}^{n/2}{\frac{1}{n+2i}}$.

Considera un $2n$ - gono regular y las $n$ diagonales que pasan por su centro. Sea $P$ un punto del círculo inscrito y sean $a_1, a_2, \ldots , a_n$ los ángulos en los que las diagonales mencionadas son visibles desde el punto $P$. Demuestra que \n\[\sum_{i=1}^n \tan^2 a_i = 2n \frac{\cos^2 \frac{\pi}{2n}}{\sin^4 \frac{\pi}{2n}}.\]