En el tetraedro $A_1A_2A_3A_4$, se colocan esferas $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ de tal manera que cada esfera $\omega_i$ es tangente en el vértice $A_i$ y las esferas no se intersecan entre sí. Otra esfera $\omega$ es tangente externamente a $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ en los puntos $B_1, B_2, B_3, B_4$ respectivamente. Demuestre que las rectas $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ se intersecan en un único punto.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 30 de marzo de 2007, 11:31 PM • 5 Y Y por Adventure10, Mango247, mathstudent5 y otros 2 usuarios. Una matriz regular de luces de $(5 \times 5)$ es defectuosa, de tal manera que al accionar el interruptor de una luz, cada luz adyacente en la misma fila y en la misma columna, así como la luz misma, cambian de estado, de encendido a apagado, o de apagado a encendido. Inicialmente, todas las luces están apagadas. Después de un cierto número de accionamientos, exactamente una luz está encendida. Encuentre todas las posiciones posibles de esta luz. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 15 de enero de 2026, 11:54 PM Y por ¿De cuántas maneras se puede pesar una carga de $10,000$ unidades utilizando dos pesas de cada una de $1,3,9,\ldots,3^{10}$ unidades y una balanza de dos platillos? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 15 de enero de 2026, 11:57 PM Y por Demuestre que existe un conjunto infinito de polinomios con coeficientes enteros que no pueden descomponerse en un producto de polinomios con coeficientes enteros, tales que los números $1,2,3,4,5$ toman el mismo valor de $5$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 2:41 PM Y por Dos jugadores marcan puntos en el plano por turnos. El primer jugador marca $1997$ puntos rojos, y el segundo jugador marca un punto azul en cada turno. Si el segundo jugador logra marcar cuatro puntos azules que sean los vértices de un cuadrado, entonces el segundo jugador gana. ¿Es posible que el primer jugador evite perder (es decir, asegurarse de que el segundo jugador no pueda ganar)? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 1 de sep. de 2010, 4:47 p. m. • 3 Y Y por John_zyj, Adventure10, Mango247 Suponga que se eligen aleatoriamente $n$ números $x_1, x_2, . . . , x_n$ del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Demuestre que la probabilidad de que $x_1^2+ x_2^2 +\cdots+ x_n^2 \equiv 0 \pmod 5$ es al menos $\frac 15.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 2:23 PM • 1 Y Y por cubres En el plano, se dan tres círculos, cualesquiera dos de los cuales están posicionados externamente y no se intersecan. Usando solo regla y compás, construya un punto desde el cual las longitudes de las tangentes trazadas a los tres círculos sean iguales. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 14 de enero de 2026, 2:24 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de nov. de 2004, 5:47 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr Un círculo se denomina separador para un conjunto de cinco puntos en un plano si pasa a través de tres de estos puntos, contiene un cuarto punto en su interior y el quinto punto se encuentra fuera del círculo. Demuestre que todo conjunto de cinco puntos tal que no hay tres colineales y no hay cuatro concíclicos tiene exactamente cuatro separadores. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 14 de nov. de 2004, 4:19 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de nov. de 2004, 5:50 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para un triángulo $T = ABC$ tomamos el punto $X$ en el lado $(AB)$ tal que $AX/AB=4/5$, el punto $Y$ en el segmento $(CX)$ tal que $CY = 2YX$ y, si es posible, el punto $Z$ en la semirrecta $(CA$ tal que $\widehat{CXZ} = 180 - \widehat{ABC}$. Denotamos por $\Sigma$ al conjunto de todos los triángulos $T$ para los cuales $\widehat{XYZ} = 45$. Demuestre que todos los triángulos de $\Sigma$ son semejantes y encuentre la medida de su ángulo más pequeño. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 14 de nov. de 2004, 4:20 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 9 de junio de 2025, 10:28 a. m. • 1 Y Y por PikaPika999 Sea $n > 1$ un entero positivo y sea $m > 2$ un divisor de $2n$. Demuestre que el número $n^2$ puede escribirse como la suma de $m$ cuadrados perfectos. Z K Y