Encuentre un $n\in\mathbb{N}$ tal que para todos los primos $p$ , $n$ es divisible por $p$ si y solo si $n$ es divisible por $p-1$ .

Considere un conjunto finito de vectores en el espacio $\{a_1, a_2, ... , a_n\}$ y el conjunto $E$ de todos los vectores de la forma $x=\sum_{i=1}^{n}{\lambda _i a_i}$ , donde $\lambda _i \in \mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$ . Sea $F$ el conjunto que consta de todos los vectores en $E$ y los vectores paralelos a un plano dado $P$ . Pruebe que existe un conjunto de vectores $\{b_1, b_2, ... , b_p\}$ tal que $F$ es el conjunto de todos los vectores $y$ de la forma $y=\sum_{i=1}^{p}{\mu _i b_i}$ , donde $\mu _i \in \mathbb{R}^{+}\cup \{0\}$ .

Una función real $f$ está definida para $0\le x\le 1$ , con su primera derivada $f'$ definida para $0\le x\le 1$ y su segunda derivada $f''$ definida para $0<x<1$ . Demostrar que si $f(0)=f'(0)=f'(1)=f(1)-1 =0$ , entonces existe un número $0<y<1$ tal que $|f''(y)|\ge 4$ .

Sean $\{n,p\}\in\mathbb{N}\cup \{0\}$ tal que $2p\le n$ . Demostrar que $\frac{(n-p)!}{p!}\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2p}$ . Determinar todas las condiciones bajo las cuales se cumple la igualdad.

Sea $E$ un conjunto finito, $P_E$ la familia de sus subconjuntos, y $f$ una función de $P_E$ al conjunto de los reales no negativos, tal que para cualesquiera dos subconjuntos disjuntos $A,B$ de $E$ , $f(A\cup B)=f(A)+f(B)$ . Demostrar que existe un subconjunto $F$ de $E$ tal que si con cada $A \subset E$ , asociamos un subconjunto $A'$ que consta de elementos de $A$ que no están en $F$ , entonces $f(A)=f(A')$ y $f(A)$ es cero si y sólo si $A$ es un subconjunto de $F$ .

En el triángulo $ABC$ sean $B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente y $H$ el pie de la altura que pasa por el vértice $A$ . Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C'$ , $BC'H$ , y $B'CH$ tienen un punto común $I$ y que la recta $HI$ pasa por el punto medio del segmento $B'C'.$

En el triángulo $ABC$ sean $B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente y $H$ el pie de la altura que pasa por el vértice $A$ . Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C'$ , $BC'H$ , y $B'CH$ tienen un punto común $I$ y que la recta $HI$ pasa por el punto medio del segmento $B'C'.$

Sea $M$ un punto interior del tetraedro $ABCD$ . Demostrar que \[ \begin{array}{c}\ \stackrel{\longrightarrow }{MA} \text{vol}(MBCD) +\stackrel{\longrightarrow }{MB} \text{vol}(MACD) +\stackrel{\longrightarrow }{MC} \text{vol}(MABD) + \stackrel{\longrightarrow }{MD} \text{vol}(MABC) = 0 \end{array}\] ( $\text{vol}(PQRS)$ denota el volumen del tetraedro $PQRS$ ) .

Sea $1<n\in\mathbb{N}$ y $1\le a\in\mathbb{R}$ y hay $n$ números $x_i, i\in\mathbb{N}, 1\le i\le n$ tales que $x_1=1$ y $\frac{x_{i}}{x_{i-1}}=a+\alpha _ i$ para $2\le i\le n$ , donde $\alpha _i\le \frac{1}{i(i+1)}$ . Demostrar que $\sqrt[n-1]{x_n}< a+\frac{1}{n-1}$ .

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que el conjunto ${n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}$ pueda ser dividido en dos subconjuntos de forma que el producto de los números en cada subconjunto sea igual.