Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas \begin{align*} v^2+ w^2+ x^2+ y^2 &= 6 - 2u, \ u^2+ w^2+ x^2+ y^2 &= 6 - 2v, \ u^2+ v^2+ x^2+ y^2 &= 6- 2w, \ u^2+ v^2+ w^2+ y^2 &= 6 - 2x, \ u^2+ v^2+ w^2+ x^2 &= 6- 2y. \end{align*}

Sean $x, y, z$ números reales no negativos que satisfacen \[x^2 + y^2 + z^2 = 5 \quad \text{ y } \quad yz + zx + xy = 2.\] ¿Qué valores puede tener el mayor de los números $x^2 -yz, y^2 - xz$ y $z^2 - xy$?

Encuentre para cada valor de $n$ un conjunto de números $p$ para los cuales la siguiente afirmación es verdadera: Cualquier $n$ - gono convexo puede ser dividido en $p$ triángulos isósceles.

En relación con un pentágono convexo $ABCDE$ consideramos el conjunto de diez círculos, cada uno de los cuales contiene tres de los vértices del pentágono en su circunferencia. ¿Es posible que ninguno de estos círculos contenga al pentágono? Pruebe su respuesta.

Los vértices de un cuadrado dado están etiquetados en sentido horario como $A,B,C,D$ . En el lado $AB$ se sitúa un punto $E$ tal que $AE = AB/3$ . Partiendo de un punto arbitrariamente elegido $P_0$ en el segmento $AE$ y yendo en sentido horario alrededor del perímetro del cuadrado, una serie de puntos $P_0, P_1, P_2, \ldots$ se marca en el perímetro tal que $P_iP_{i+1} = AB/3$ para cada $i$ . Quedará claro que cuando $P_0$ se elige en $A$ o en $E$ , entonces algún $P_i$ coincidirá con $P_0$ . ¿También sucede esto posiblemente si $P_0$ se elige de otra manera?

Sea un ángulo agudo $\angle AOB = 3\alpha$ , donde $\overline{OA}= \overline{OB}$ . El punto $A$ es el centro de un círculo con radio $\overline{OA}$ . Una línea $s$ paralela a $OA$ pasa por $B$ . Dentro del ángulo dado se dibuja una línea variable $t$ que pasa por $O$ . Se encuentra con el círculo en $O$ y $C$ y con la línea dada $s$ en $D$ , donde $\angle AOC = x$ . Partiendo de una posición arbitrariamente elegida $t_0$ de $t$ , la serie $t_0, t_1, t_2, \ldots$ se determina definiendo $\overline{BD_{i+1}}=\overline{OC_i}$ para cada $i$ (en el que $C_i$ y $D_i$ denotan las posiciones de $C$ y $D$ , correspondientes a $t_i$ ) . Haciendo uso de las representaciones gráficas de $BD$ y $OC$ como funciones de $x$ , determine el comportamiento de $t_i$ para $i\to \infty$ .

Demuestre que para cualquier triángulo con lados $a, b, c$ y área $P$ se cumple la siguiente desigualdad: \[P \leq \frac{\sqrt 3}{4} (abc)^{2/3}.\] Encuentre todos los triángulos para los cuales se cumple la igualdad.

Sean $u_1, u_2, \ldots, u_n, v_1, v_2, \ldots, v_n$ números reales. Pruebe que \[1+ \sum_{i=1}^n (u_i+v_i)^2 \leq \frac 43 \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n u_i^2 \Biggl) \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n v_i^2 \Biggl) .\]

Pruebe que la ecuación $4^x +6^x =9^x$ no tiene soluciones racionales.

Un conjunto $G$ con elementos $u,v,w...$ es un Grupo si se cumplen las siguientes condiciones: $(\text{i})$ Hay una operación binaria $\circ$ definida en $G$ tal que $\forall \{u,v\}\in G$ existe un $w\in G$ con $u\circ v = w$ . $(\text{ii})$ Esta operación es asociativa; i.e. $(u\circ v)\circ w = u\circ (v\circ w)$ $\forall\{u,v,w\}\in G$ . $(\text{iii})$ $\forall \{u,v\}\in G$ , existe un elemento $x\in G$ tal que $u\circ x = v$ , y un elemento $y\in G$ tal que $y\circ u = v$ . Sea $K$ un conjunto de todos los números reales mayores que $1$ . En $K$ se define una operación por $ a\circ b = ab-\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$ . Pruebe que $K$ es un Grupo.