Dado un polinomio \[P(x) = ab(a - c)x^3 + (a^3 - a^2c + 2ab^2 - b^2c + abc)x^2 +(2a^2b + b^2c + a^2c + b^3 - abc)x + ab(b + c),\] donde $a, b, c \neq 0$ , pruebe que $P(x)$ es divisible por \[Q(x) = abx^2 + (a^2 + b^2)x + ab\] y concluya que $P(x_0)$ es divisible por $(a + b)^3$ para $x_0 = (a + b + 1)^n, n \in \mathbb N$ .

Dado un triángulo $ABC$ y un plano $\pi$ que no tiene puntos en común con el triángulo, encuentre un punto $M$ tal que el triángulo determinado por los puntos de intersección de las líneas $MA,MB,MC$ con $\pi$ sea congruente al triángulo $ABC$ .

Sea $M$ un punto interior del tetraedro $V ABC$. Denotemos por $A_1,B_1, C_1$ los puntos de intersección de las líneas $MA,MB,MC$ con los planos $VBC,V CA,V AB$, y por $A_2,B_2, C_2$ los puntos de intersección de las líneas $V A_1, VB_1, V C_1$ con los lados $BC,CA,AB$. \n(a) Demostrar que el volumen del tetraedro $V A_2B_2C_2$ no excede un cuarto del volumen de $V ABC$. \n(b) Calcular el volumen del tetraedro $V_1A_1B_1C_1$ como una función del volumen de $V ABC$, donde $V_1$ es el punto de intersección de la línea $VM$ con el plano $ABC$, y $M$ es el baricentro de $V ABC$.

Si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, probar que \[(a + b)(b + c)(c + a) \geq 8(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).\]

Demostrar que la ecuación \[x^3 - 3 \tan\frac{\pi}{12} x^2 - 3x + \tan\frac{\pi}{12}= 0\] tiene una raíz $x_1 = \tan \frac{\pi}{36}$, y hallar las otras raíces.

Tenemos $0\le x_i<b$ para $i=0,1,\ldots,n$ y $x_n>0,x_{n-1}>0$. Si $a>b$, y $x_nx_{n-1}\ldots x_0$ representa el número $A$ en base $a$ y $B$ en base $b$, mientras que $x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0$ representa el número $A'$ en base $a$ y $B'$ en base $b$, demostrar que $A'B<AB'$.

Sea un cubo de lado $1$. Demostrar que existe un punto $A$ en la superficie $S$ del cubo tal que todo punto de $S$ puede unirse a $A$ por un camino en $S$ de longitud no mayor que $2$. Demostrar también que hay un punto de $S$ que no se puede unir con $A$ por un camino en $S$ de longitud menor que $2$.

Sea ABC un triángulo con ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ conmensurables con $\pi$ . Comenzando desde un punto $P$ interior al triángulo, una bola se refleja en los lados de $ABC$ , respetando la ley de reflexión que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Pruebe que, suponiendo que la bola nunca alcanza ninguno de los vértices $A,B,C$ , el conjunto de todas las direcciones en las que la bola se moverá a través del tiempo es finito. En otras palabras, su camino desde el momento $0$ hasta el infinito consiste en segmentos paralelos a un conjunto finito de líneas.

$M$ es cualquier punto en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ . $r,r_1,r_2$ son los radios de los círculos inscritos en $ABC,AMC,BMC$ . $q$ es el radio del círculo en el lado opuesto de $AB$ a $C$ , tocando los tres lados de $AB$ y las extensiones de $CA$ y $CB$ . Similarmente, $q_1$ y $q_2$ . Pruebe que $r_1r_2q=rq_1q_2$.

Encuentre el mayor entero $A$ para el cual en cualquier permutación de los números $1, 2, \ldots , 100$ existen diez números consecutivos cuya suma es al menos $A$.