Sean los números $1, 2, \ldots , n^2$ escritos en las celdas de un tablero cuadrado de $n \times n$ de modo que las entradas en cada columna estén dispuestas de forma creciente. ¿Cuáles son las sumas más pequeñas y más grandes posibles de los números en la $k^{th}$ fila? ( $k$ un entero positivo, $1 \leq k \leq n$ . )

Se da un agujero cuadrado de profundidad $h$ cuya base es de longitud $a$. Un perro está atado al centro del cuadrado en el fondo del agujero por una cuerda de longitud $L >\sqrt{2a^2+h^2}$ , y camina sobre el suelo alrededor del agujero. Los bordes del agujero son lisos, de modo que la cuerda puede deslizarse libremente a lo largo de él. Encuentre la forma y el área del territorio accesible al perro (cuyo tamaño se desprecia).

Una tortuga huye de un OVNI con una velocidad de $0.2 \ m/s$. El OVNI vuela a $5$ metros sobre el suelo, con una velocidad de $20 \ m/s$. La trayectoria del OVNI es una línea quebrada, donde después de volar en un trayecto recto de longitud $\ell$ (en metros) puede girar a través de cualquier ángulo agudo $\alpha$ tal que $\tan \alpha < {\ell\over 1000}$. Cuando el centro del OVNI se acerca a $13$ metros de la tortuga, atrapa a la tortuga. Demuestre que para cualquier posición inicial el OVNI puede atrapar a la tortuga.

Sean $P,Q,R$ polinomios y sea $S(x) = P(x^3) + xQ(x^3) + x^2R(x^3)$ un polinomio de grado $n$ cuyas raíces $x_1,\ldots, x_n$ son distintas. Construya con la ayuda de los polinomios $P,Q,R$ un polinomio $T$ de grado $n$ que tenga las raíces $x_1^3 , x_2^3 , \ldots, x_n^3.$

Un cuadrado $ABCD$ se divide en $(n - 1)^2$ cuadrados congruentes, con lados paralelos a los lados del cuadrado dado. Considere la cuadrícula de todas las $n^2$ esquinas obtenidas de esta manera. Determine todos los enteros $n$ para los cuales es posible construir una parábola no degenerada con su eje paralelo a un lado del cuadrado y que pasa por exactamente $n$ puntos de la cuadrícula.

Los números reales $a_0,a_1,a_2,\ldots$ satisfacen $1=a_0\le a_1\le a_2\le\ldots. b_1,b_2,b_3,\ldots$ están definidos por $b_n=\sum_{k=1}^n{{1-{a_{k-1}\over a_k}}\over\sqrt a_k}$ . a.) Demuestre que $0\le b_n<2$ . b.) Dado $c$ que satisface $0\le c<2$, demuestre que podemos encontrar $a_n$ tal que $b_n>c$ para todo $n$ suficientemente grande.

Sea $p$ un número primo. Un número racional $x$, con $0 < x < 1$, se escribe en su forma más simple. El número racional obtenido de $x$ al agregar $p$ tanto al numerador como al denominador difiere de $x$ por $1/p^2$. Determine todos los números racionales $x$ con esta propiedad.

El área de un triángulo es $S$ y la suma de las longitudes de sus lados es $L$ . Pruebe que $36S \leq L^2\sqrt 3$ y dé una condición necesaria y suficiente para la igualdad.

Para $n \in \mathbb N$ , sea $f(n)$ el número de enteros positivos $k \leq n$ que no contienen el dígito $9$ . ¿Existe un número real positivo $p$ tal que $\frac{f(n)}{n} \geq p$ para todos los enteros positivos $n$ ?

Sea un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros que toma el valor $5$ para cinco valores enteros diferentes de $x.$ Pruebe que $p(x)$ no toma el valor $8$ para ningún entero $x.$