Sea $n \ge 2$ un entero. Considere un tablero de ajedrez de $n \times n$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ torres en este tablero es pacífica si cada fila y cada columna contiene exactamente una torre. Encuentra el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ torres, hay un cuadrado de $k \times k$ que no contiene una torre en ninguno de sus $k^2$ cuadrados unitarios.

Sean $a_0 < a_1 < a_2 < \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Demuestra que existe un único entero $n\geq 1$ tal que \[a_n < \frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \leq a_{n+1}.\]

En cada cuadrado de un tablero de $100 \times 100$ se escribe un entero. La operación permitida es elegir cuatro cuadrados que formen la figura o cualquiera de sus reflexiones o rotaciones, y sumar $1$ a cada uno de los cuatro números. El objetivo es, a través de las operaciones permitidas, lograr un tablero con el menor número posible de residuos diferentes módulo $33$. ¿Cuál es el número mínimo que se puede lograr con certeza?

Sean $a \ge 2$ y $n \ge 3$ enteros . Demuestra que uno de los números $a^n+ 1 , a^{n + 1}+ 1 , ... , a^{2 n-2}+ 1$ no comparte ningún divisor impar mayor que $1$ con ninguno de los otros números.

Encuentra todos los números reales $x$ , tales que: \na) $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor +...+ \lfloor 2012x \rfloor = 2013$ \nb) $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor +...+ \lfloor 2013x \rfloor = 2014$

Sea $T$ un triángulo no isósceles y $n \ge 4$ un entero. Demuestra que puedes dividir $T$ en $n$ triángulos y dibujar en cada uno de ellos una bisectriz interior de manera que esas $n$ bisectrices sean paralelas.

Un rectángulo se divide en $n^2$ rectángulos más pequeños por $n - 1$ líneas horizontales y $n - 1$ líneas verticales. Entre esos rectángulos hay exactamente $5660$ que no son congruentes. ¿Para qué valor mínimo de $n$ esto es posible?

Un entero $n$ se llama apocalíptico si la suma de $6$ divisores positivos diferentes de $n$ da $3528$. Por ejemplo, $2012$ es apocalíptico, porque tiene seis divisores, $1$, $2$, $4$, $503$, $1006$ y $2012$, que suman $3528$. Encuentra el número apocalíptico positivo más pequeño.

¿Para qué dígitos $a$ existen enteros $n \geq 4$ tales que cada dígito de $\frac{n(n+1)}{2}$ es igual a $a \ ?$

Dados $100$ puntos coplanarios, no tres colineales, demuestre que a lo sumo el $70\%$ de los triángulos formados por los puntos tienen todos los ángulos agudos.