$a_1,a_2,...,a_{100}$ son una permutación de $1,2,...,100$. $S_1=a_1, S_2=a_1+a_2,...,S_{100}=a_1+a_2+...+a_{100}$. Encuentra el máximo número de cuadrados perfectos de $S_i$.

Un cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo con centro $O$. Sus diagonales se intersecan en $M$. El circuncírculo de $ABM$ interseca los lados $AD$ y $BC$ en $N$ y $K$ respectivamente. Demuestra que las áreas de $NOMD$ y $KOMC$ son iguales.

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demostrar que \[ \sum_{cyclic} \frac{xy}{xy+x^2+y^2} ~\le~ \sum_{cyclic} \frac{x}{2x+z} \]

Decidir si los enteros $1,2,\ldots,100$ se pueden colocar en las celdas $C(i, j)$ de una matriz de $10\times10$ (donde $1\le i,j\le 10$ ) , de modo que se cumplan las siguientes condiciones: i) En cada fila, las entradas suman la misma suma $S$ . ii) En cada columna, las entradas también suman esta suma $S$ . iii) Para cada $k = 1, 2, \ldots, 10$ las diez entradas $C(i, j)$ con $i-j\equiv k\bmod{10}$ suman $S$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $90^\circ \ne \angle A \ne 135^\circ$ . Sean $D$ y $E$ puntos externos al triángulo $ABC$ tales que $DAB$ y $EAC$ son triángulos isósceles con ángulos rectos en $D$ y $E$ . Sea $F = BE \cap CD$ , y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $DE$ , respectivamente. Demostrar que, si tres de los puntos $A$ , $F$ , $M$ , $N$ son colineales, entonces los cuatro son colineales.

Determinar todos los enteros $n\ge1$ para los cuales existen $n$ números reales $x_1,\ldots,x_n$ en el intervalo cerrado $[-4,2]$ tales que se cumplen las siguientes tres condiciones: - la suma de estos números reales es al menos $n$ . - la suma de sus cuadrados es a lo sumo $4n$ . - la suma de sus cuartas potencias es al menos $34n$ .

Un conjunto de líneas en el plano está en posición general si no hay dos paralelas y no hay tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de líneas en posición general corta el plano en regiones, algunas de las cuales tienen un área finita; llamamos a estas sus regiones finitas . Demuestra que para todo $n$ suficientemente grande , en cualquier conjunto de $n$ líneas en posición general es posible colorear al menos $\sqrt{n}$ líneas de azul de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga un borde completamente azul. Nota : Los resultados con $\sqrt{n}$ reemplazado por $c\sqrt{n}$ recibirán puntos dependiendo del valor de la constante $c$ .

Para cada entero positivo $n$ , el Banco de Ciudad del Cabo emite monedas de denominación $\frac1n$ . Dada una colección finita de tales monedas (de denominaciones no necesariamente diferentes) con un valor total de a lo sumo $99+\frac12$ , demuestra que es posible dividir esta colección en $100$ o menos grupos, de tal manera que cada grupo tenga un valor total de a lo sumo $1$ .

Sean $P$ y $Q$ en el segmento $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos en $AP$ y $AQ$ , respectivamente, tales que $P$ es el punto medio de $AM$ y $Q$ es el punto medio de $AN$ . Demuestra que la intersección de $BM$ y $CN$ está en la circunferencia del triángulo $ABC$ .

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$ . El punto $H$ es el pie de la perpendicular de $A$ a $BD$ . Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$ , respectivamente, tales que $H$ está dentro del triángulo $SCT$ y \[ \angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}. \] Demuestra que la línea $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$ .