Hallar todos los números primos $p,q$ , para los cuales $p^{q+1}+q^{p+1}$ es un cuadrado perfecto.

Maryam etiqueta cada vértice de un tetraedro con la suma de las longitudes de las tres aristas que se encuentran en ese vértice. Luego observa que las etiquetas en los cuatro vértices del tetraedro son todas iguales. Para cada vértice del tetraedro, demostrar que las longitudes de las tres aristas que se encuentran en ese vértice son las tres longitudes de los lados de un triángulo.

Sean $A_1,A_2,\ldots,A_{2017}$ los vértices de un polígono regular con $2017$ lados. Demostrar que existe un punto $P$ en el plano del polígono tal que el vector $$\sum_{k=1}^{2017}k\frac{\overrightarrow{PA}_k}{\left\lVert\overrightarrow{PA}_k\right\rVert^5}$$ es el vector cero. (La notación $\left\lVert\overrightarrow{XY}\right\rVert$ representa la longitud del vector $\overrightarrow{XY}$ . )

Para cada entero positivo $n$ , sea $M(n)$ la matriz de $n\times n$ cuya entrada $(i,j)$ es igual a $1$ si $i+1$ es divisible por $j$ , e igual a $0$ en caso contrario. Demostrar que $M(n)$ es invertible si y sólo si $n+1$ está libre de cuadrados. (Un entero está libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de un entero mayor que $1$ . )

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ la secuencia de números reales definida por $a_1=1$ y $$a_m=\frac1{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{m-1}^2}\qquad\text{para }m\ge2.$$ Determinar si existe un entero positivo $N$ tal que $$a_1+a_2+\ldots+a_N>2017^{2017}.$$

Los cinco lados y las cinco diagonales de un pentágono regular se dibujan en una hoja de papel. Dos personas juegan un juego, en el que se turnan para colorear uno de estos diez segmentos de línea. El primer jugador colorea los segmentos de línea de azul, mientras que el segundo jugador colorea los segmentos de línea de rojo. Un jugador no puede colorear un segmento de línea que ya ha sido coloreado. Un jugador gana si es el primero en crear un triángulo en su propio color, cuyos tres vértices también son vértices del pentágono regular. El juego se declara empate si los diez segmentos de línea han sido coloreados sin que un jugador gane. Determinar si el primer jugador, el segundo jugador o ninguno de los dos jugadores puede forzar una victoria.

Llamamos a un entero positivo $q$ un $denominador \quad conveniente$ para un número real $\alpha$ si $\displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q}$ para algún entero $p$. Demuestra que si dos números irracionales $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo conjunto de denominadores convenientes, entonces o bien $\alpha+\beta$ o $\alpha- \beta$ es un entero.

Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ tal que $AB||DE$ , $BC||EF$ , $CD||FA$. Los puntos $M, N, K$ son puntos comunes de las líneas $BD$ y $AE$ , $AC$ y $DF$ , $CE$ y $BF$ respectivamente. Demuestra que las perpendiculares trazadas desde $M, N, K$ a las líneas $AB, CD, EF$ respectivamente son concurrentes.

Encuentra todos los $k>0$ para los cuales existe una función estrictamente decreciente $g:(0;+\infty)\to(0;+\infty)$ tal que $g(x)\geq kg(x+g(x))$ para todo $x$ positivo.

Hay $60$ ciudades en $Graphland$, donde cada par de ciudades están conectadas por un camino dirigido. Demuestra que podemos colorear cuatro ciudades de rojo y cuatro ciudades de verde, tal que cada camino entre las ciudades verdes y rojas estén dirigidas de rojo a verde.