Sea $n \ge 3$ un entero, y considere un círculo con $n + 1$ puntos marcados en él, espaciados uniformemente. Considere todas las etiquetas de estos puntos con los números $0, 1, ... , n$ de tal manera que cada etiqueta se utilice exactamente una vez; dos de estas etiquetas se consideran iguales si una se puede obtener de la otra por una rotación del círculo. Una etiqueta se llama hermosa si, para cualquier cuatro etiquetas $a < b < c < d$ con $a + d = b + c$, la cuerda que une los puntos etiquetados $a$ y $d$ no se interseca con la cuerda que une los puntos etiquetados $b$ y $c$. Sea $M$ el número de etiquetas hermosas, y sea $N$ el número de pares ordenados $(x, y)$ de enteros positivos tales que $x + y \le n$ y $\gcd(x, y) = 1$. Demostrar que $$M = N + 1.$$

Sea $\mathbb Q_{>0}$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Sea $f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb R$ una función que satisface las siguientes tres condiciones: (i) para todo $x,y\in\mathbb Q_{>0}$, tenemos $f(x)f(y)\geq f(xy)$; (ii) para todo $x,y\in\mathbb Q_{>0}$, tenemos $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$; (iii) existe un número racional $a>1$ tal que $f(a)=a$. Demostrar que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb Q_{>0}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $W$ un punto en el lado $BC$, que se encuentra estrictamente entre $B$ y $C$. Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las alturas desde $B$ y $C$, respectivamente. Denotemos por $\omega_1$ la circunferencia circunscrita de $BWN$, y sea $X$ el punto en $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$. Análogamente, denotemos por $\omega_2$ la circunferencia circunscrita del triángulo $CWM$, y sea $Y$ el punto tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$. Demostrar que $X,Y$ y $H$ son colineales.

Sea el excírculo del triángulo $ABC$ opuesto al vértice $A$ tangente al lado $BC$ en el punto $A_1$. Definir los puntos $B_1$ en $CA$ y $C_1$ en $AB$ análogamente, usando los excírculos opuestos a $B$ y $C$, respectivamente. Suponga que el circuncentro del triángulo $A_1B_1C_1$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Demostrar que el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Tenemos $ n \geq 2$ lámparas $ L_{1}, . . . ,L_{n}$ en una fila, cada una de ellas estando encendida o apagada. Cada segundo modificamos simultáneamente el estado de cada lámpara de la siguiente manera: si la lámpara $ L_{i}$ y sus vecinos (sólo un vecino para $ i = 1$ o $ i = n$ , dos vecinos para otro $ i$ ) están en el mismo estado, entonces $ L_{i}$ se apaga; – de lo contrario, $ L_{i}$ se enciende. Inicialmente todas las lámparas están apagadas excepto la más a la izquierda que está encendida. $ (a)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales todas las lámparas eventualmente se apagarán. $ (b)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales las lámparas nunca estarán todas apagadas.

Una configuración de $4027$ puntos en el plano se llama Colombiana si consta de $2013$ puntos rojos y $2014$ puntos azules, y no hay tres puntos de la configuración que sean colineales. Al dibujar algunas líneas, el plano se divide en varias regiones. Una disposición de líneas es buena para una configuración Colombiana si se cumplen las dos condiciones siguientes: i) Ninguna línea pasa por ningún punto de la configuración. ii) Ninguna región contiene puntos de ambos colores. Hallar el menor valor de $k$ tal que para cualquier configuración Colombiana de $4027$ puntos, existe una disposición buena de $k$ líneas.

Determine el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})| \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\] se cumple para todos los números reales $a$ , $b$ y $c$ .

Sean $k$ y $n$ dos enteros positivos. Demostrar que existen enteros positivos $m_1 , \dots , m_k$ tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac1{m_1}\right)\cdots \left(1+\frac1{m_k}\right).\]

Nota: El siguiente problema está abierto en el sentido de que actualmente no se conoce ninguna solución. Se pueden otorgar puntos por el progreso en el problema. Un ejemplo de progreso en el problema es un límite no trivial en la secuencia definida a continuación. Para cada entero $n\ge2$ , considere un polígono regular con $2n$ lados, todos de longitud $1$ . Sea $C(n)$ el número de formas de teselar este polígono usando cuadriláteros cuyos lados tienen todos longitud $1$ . Determinar el límite inferior y el límite superior de la secuencia definida por $$\frac1{n^2}\log_2C(n).$$

Cada punto en el plano con coordenadas enteras se colorea de rojo o azul de tal manera que se cumplen las siguientes dos propiedades. Para dos puntos rojos cualesquiera, el segmento de línea que los une no contiene ningún punto azul. Para dos puntos azules cualesquiera que estén a una distancia de $2$ , el punto medio del segmento de línea que los une es azul. Demostrar que si tres puntos rojos son los vértices de un triángulo, entonces el interior del triángulo no contiene ningún punto azul.