La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 2 de sep. de 2010, 5:19 PM • 2 Y Y por Adventure10, Rounak_iitr Sean $f(x) = x^m + a_1x^{m-1} + \cdots+ a_{m-1}x + a_m$ y $g(x) = x^n + b_1x^{n-1} + \cdots + b_{n-1}x + b_n$ dos polinomios con coeficientes reales tales que para cada número real $x, f(x)$ es el cuadrado de un entero si y solo si $g(x)$ también lo es. Demuestre que si $n +m > 0$, entonces existe un polinomio $h(x)$ con coeficientes reales tal que $f(x) \cdot g(x) = (h(x))^2.$ Observación. Observación. El problema original establecía $g(x) = x^n + b_1x^{n-1} + \cdots + {\color{red}{ b_{n-1}}} + b_n$, pero creo que la forma correcta del problema es la que escribí. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 1 de sep. de 2010, 7:27 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a, b, c$ enteros. Demuestre que existen enteros $p_1, q_1, r_1, p_2, q_2, r_2$ tales que \[a = q_1r_2 - q_2r_1, b = r_1p_2 - r_2p_1, c = p_1q_2 - p_2q_1.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de julio de 2018, 7:29 AM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, MathKhorezm Tenemos cuatro triángulos de madera con lados de $3, 4, 5$ centímetros. ¿Cuántos polígonos convexos podemos formar usando todos estos triángulos? (Solo dibuje los polígonos sin ninguna demostración). Un polígono convexo es un polígono en el cual todos sus ángulos son menores a $180^o$ y no tiene ningún hueco en su interior. Por ejemplo: //cdn.artofproblemsolving.com/images/7/5/4/7545261bf092f2c843dcb006847dda80e25acedc.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 29 de agosto de 2019, 9:53 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 2 de sep. de 2010, 5:13 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Suponga que los puntos $X, Y, Z$ están ubicados en los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente, del triángulo $ABC$ de tal manera que el triángulo $XY Z$ es semejante al triángulo $ABC$. Demuestre que el ortocentro del triángulo $XY Z$ es el circuncentro del triángulo $ABC.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 2 de sep. de 2010, 5:09 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Dado un grafo con $n$ vértices y un entero positivo $m$ que es menor que $n$, demuestre que el grafo contiene un conjunto de $m+1$ vértices en el cual la diferencia entre el grado mayor de cualquier vértice en el conjunto y el grado menor de cualquier vértice en el conjunto es a lo sumo $m-1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de julio de 2018, 7:20 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, ItsBesi Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^o$. Los puntos $M,N,K$ se encuentran sobre $BC,AC,AB$ respectivamente, tales que $BK = KM = MN = NC$. Si $AN = 2AK$, encuentre los valores de $\angle B$ y $\angle C$. por Mahdi Etesami Fard Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 25 de febrero de 2024, 10:19 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. rilarfer 92 publicaciones rilarfer #1 h 7 de agosto de 2023, 5:01 PM • 1 Y Y por dkshield Cuadricule el plano formando un tablero infinito. En cada celda de este tablero hay una lámpara, inicialmente apagada. Una operación permitida consiste en seleccionar un cuadrado de \(3\times 3\), \(4\times 4\) o \(5\times 5\) celdas y cambiar el estado de todas las lámparas en ese cuadrado (las que están apagadas se encienden y las que están encendidas se apagan). (a) Demuestre que para cualquier conjunto finito de lámparas, es posible lograr, mediante una secuencia finita de operaciones permitidas, que esas sean las únicas lámparas encendidas en el tablero. (b) Demuestre que si en una secuencia de operaciones permitidas solo se utilizan dos de los tres tamaños de cuadrado, entonces es imposible lograr que al final las únicas lámparas encendidas en el tablero sean las de un cuadrado de \(2\times 2\). Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de julio de 2018, 7:34 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En la figura a continuación, sabemos que $AB = CD$ y $BC = 2AD$. Demuestre que $\angle BAD = 30^o$. https://3.bp.blogspot.com/-IXi_8jSwzlU/W1R5IydV5uI/AAAAAAAAIzo/2sREnDEnLH8R9zmAZLCkVCGeMaeITX9YwCK4BGAYYCw/s400/IGO%2B2015.el3.png Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 27 de febrero de 2024, 1:31 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 1:28 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se da un círculo $k$ y su diámetro $AB$. Encuentre el lugar geométrico de los centros de los círculos inscritos en los triángulos que tienen un vértice en $AB$ y los otros dos vértices en $k.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 2 de sep. de 2010, 4:32 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $P_1(x, y)$ y $P_2(x, y)$ dos polinomios relativamente primos con coeficientes complejos. Sean $Q(x, y)$ y $R(x, y)$ polinomios con coeficientes complejos y cada uno de grado no superior a $d$. Demuestre que existen dos enteros $A_1, A_2$ no simultáneamente nulos con $|A_i| \leq d + 1 \ (i = 1, 2)$ y tales que el polinomio $A_1P_1(x, y) + A_2P_2(x, y)$ es coprimo con $Q(x, y)$ y $R(x, y).$ Z K Y