Sea el incírculo $k$ del triángulo $ABC$ que toca su lado $BC$ en $D$. Sea la línea $AD$ que interseca a $k$ en $L \neq D$ y denote el excentro de $ABC$ opuesto a $A$ por $K$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $KM$ respectivamente. Demuestre que los puntos $B, C, N,$ y $L$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$. Su incírculo con centro $I$ toca los lados $BC, CA,$ y $AB$ en los puntos $D, E,$ y $F$ respectivamente. La bisectriz del ángulo $AI$ interseca las líneas $DE$ y $DF$ en los puntos $X$ e $Y$ respectivamente. Sea $Z$ el pie de la altura a través de $A$ con respecto a $BC$. Demuestre que $D$ es el incentro del triángulo $XYZ$.

En Happy City hay $2014$ ciudadanos llamados $A_1, A_2, \dots , A_{2014}$. Cada uno de ellos es feliz o infeliz en cualquier momento. El estado de ánimo de cualquier ciudadano $A$ cambia (de ser infeliz a ser feliz o viceversa) si y solo si algún otro ciudadano feliz sonríe a $A$. El lunes por la mañana había $N$ ciudadanos felices en la ciudad. Lo siguiente sucedió el lunes durante el día: el ciudadano $A_1$ sonrió al ciudadano $A_2$, luego $A_2$ sonrió a $A_3$, etc., y, finalmente, $A_{2013}$ sonrió a $A_{2014}$. Nadie sonrió a nadie más aparte de esto. Exactamente lo mismo se repitió el martes, miércoles y jueves. Había exactamente $2000$ ciudadanos felices el jueves por la noche. Determine el valor máximo posible de $N$.

Sean $K$ y $L$ enteros positivos. En un tablero que consta de $2K \times 2L$ cuadrados unitarios, una hormiga comienza en el cuadrado de la esquina inferior izquierda y camina hacia el cuadrado de la esquina superior derecha. En cada paso, va horizontal o verticalmente a un cuadrado vecino. Nunca visita un cuadrado dos veces. Al final, algunos cuadrados pueden permanecer sin visitar. En algunos casos, la colección de todos los cuadrados no visitados forma un solo rectángulo. En tales casos, llamamos a este rectángulo MEMOrable. Determine el número de diferentes rectángulos MEMOrables. Observación: Los rectángulos son diferentes a menos que consten exactamente de los mismos cuadrados.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ xf(xy) + xyf(x) \ge f(x^2)f(y) + x^2y \] se cumple para todo $x,y \in \mathbb{R}$.

Determine el valor más bajo posible de la expresión \[ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a+y} + \frac{1}{b+x} + \frac{1}{b+y} \] donde $a,b,x,$ e $y$ son números reales positivos que satisfacen las desigualdades \[ \frac{1}{a+x} \ge \frac{1}{2} \] \[\frac{1}{a+y} \ge \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{b+x} \ge \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{b+y} \ge 1. \]

Para enteros $n \ge k \ge 0$ definimos el coeficiente bibinomial $\left( \binom{n}{k} \right)$ por \[ \left( \binom{n}{k} \right) = \frac{n!!}{k!!(n-k)!!} .\] Determine todos los pares $(n,k)$ de enteros con $n \ge k \ge 0$ tales que el coeficiente bibinomial correspondiente es un entero. Observación: El doble factorial $n!!$ se define como el producto de todos los enteros positivos pares hasta $n$ si $n$ es par y el producto de todos los enteros positivos impares hasta $n$ si $n$ es impar. Entonces, por ejemplo, $0!! = 1$, $4!! = 2 \cdot 4 = 8$ y $7!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ e incentro $I$. Sea $E$ el punto en el lado $AC$ tal que $AE = AB$. Sea $G$ el punto en la línea $EI$ tal que $\angle IBG = \angle CBA$ y tal que $E$ y $G$ se encuentran en lados opuestos de $I$. Demuestre que la línea $AI$, la línea perpendicular a $AE$ en $E$ y la bisectriz del ángulo $\angle BGI$ son concurrentes.

Consideramos disecciones de $n$ - gonos regulares en $n - 2$ triángulos mediante $n - 3$ diagonales que no se intersecan dentro del $n$ - gono. Una triangulación bicoloreada es una disección de un $n$ - gono en la que cada triángulo está coloreado de blanco o negro y dos triángulos cualesquiera que compartan un borde tienen colores diferentes. Llamamos a un entero positivo $n \ge 4$ triangulable si todo $n$ - gono regular tiene una triangulación bicoloreada tal que para cada vértice $A$ del $n$ - gono el número de triángulos negros de los cuales $A$ es un vértice es mayor que el número de triángulos blancos de los cuales $A$ es un vértice. Encuentra todos los números triangulables.

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[ xf(y) + f(xf(y)) - xf(f(y)) - f(xy) = 2x + f(y) - f(x+y)\] se cumple para todo $x,y \in \mathbb{R}$.