En un tetraedro dado $ ABCD$, sean $ K$ y $ L$ los centros de las aristas $ AB$ y $ CD$ respectivamente. Demuestra que todo plano que contiene la línea $ KL$ divide el tetraedro en dos partes de igual volumen.

Sea $ n$ un entero positivo par. Sean $ A_1, A_2, \ldots, A_{n + 1}$ conjuntos que tienen $ n$ elementos cada uno, tales que dos cualesquiera de ellos tienen exactamente un elemento en común, mientras que cada elemento de su unión pertenece al menos a dos de los conjuntos dados. ¿Para qué $ n$ se puede asignar a cada elemento de la unión uno de los números 0 y 1 de tal manera que cada uno de los conjuntos tenga exactamente $ \frac {n}{2}$ ceros?

Un tablero de ajedrez de $ n \times n, n \geq 2$ está numerado con los números $ 1, 2, \ldots, n^2$ (y cada número ocurre). Demuestra que existen dos cuadrados vecinos (con un borde común) tales que sus números difieren en al menos $ n.$

Sea $k$ un entero positivo y $M_k$ el conjunto de todos los enteros que están entre $2 \cdot k^2 + k$ y $2 \cdot k^2 + 3 \cdot k,$ ambos incluidos. ¿Es posible particionar $M_k$ en 2 subconjuntos $A$ y $B$ tales que \[ \sum_{x \in A} x^2 = \sum_{x \in B} x^2. \]

El triángulo $ ABC$ está inscrito en un círculo. Las bisectrices interiores de los ángulos $ A,B$ y $ C$ se encuentran con el círculo nuevamente en $ A', B'$ y $ C'$ respectivamente. Pruebe que el área del triángulo $ A'B'C'$ es mayor o igual que el área del triángulo $ ABC.$

Sea $ n$ un entero positivo. Encuentre el número de coeficientes impares del polinomio \[ u_n(x) = (x^2 + x + 1)^n.\]

Sea $\left[\sqrt{(n+1)^2 + n^2} \right], n = 1,2, \ldots,$ donde $[x]$ denota la parte entera de $x.$ Pruebe que i.) hay infinitos enteros positivos $m$ tales que $a_{m+1} - a_m > 1;$ ii.) hay infinitos enteros positivos $m$ tales que $a_{m+1} - a_m = 1.$

Una secuencia de enteros se define por \[{ a_n = 2 a_{n-1} + a_{n-2}}, \quad (n > 1), \quad a_0 = 0, a_1 = 1.\]. Pruebe que $2^k$ divide a $a_n$ si y solo si $2^k$ divide a $n$.

Determine todas las cuádruples $(x,y,z,t)$ de enteros positivos tales que \[ 20^x + 14^{2y} = (x + 2y + z)^{zt}.\]

Un conjunto finito de enteros positivos $A$ se llama meanly si para cada uno de sus subconjuntos no vacíos la media aritmética de sus elementos es también un entero positivo. En otras palabras, $A$ es meanly si $\frac{1}{k}(a_1 + \dots + a_k)$ es un entero siempre que $k \ge 1$ y $a_1, \dots, a_k \in A$ sean distintos. Dado un entero positivo $n$, determine la suma mínima posible de los elementos de un conjunto meanly de $n$ elementos.