Sea $ N = \{1,2 \ldots, n\}, n \geq 2.$ Una colección $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ de subconjuntos $ A_i \subseteq N,$ $ i = 1, \ldots, t,$ se dice que es separadora, si para cada par $ \{x,y\} \subseteq N,$ existe un conjunto $ A_i \in F$ tal que $ A_i \cap \{x,y\}$ contiene sólo un elemento. $ F$ se dice que es cubriente, si cada elemento de $ N$ está contenido en al menos un conjunto $ A_i \in F.$ ¿Cuál es el valor más pequeño $ f(n)$ de $ t,$ tal que existe un conjunto $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ que es simultáneamente separadora y cubriente?

Si $ n$ recorre todos los enteros positivos, entonces $ f(n) = \left \lfloor n + \sqrt {3n} + \frac {1}{2} \right \rfloor$ recorre todos los enteros positivos omitiendo los términos de la secuencia $ a_n = \left \lfloor \frac {n^2 + 2n}{3} \right \rfloor$.

Si $ n$ recorre todos los enteros positivos, entonces $ f(n) = \left[n + \sqrt {\frac {n}{3}} + \frac {1}{2} \right]$ recorre todos los enteros positivos omitiendo los términos de la secuencia $ a_n = 3 \cdot n^2 - 2 \cdot n.$

Sea $1 \leq k \leq n.$ Considere todas las secuencias finitas de enteros positivos con suma $n.$ Encuentre $T(n,k),$ el número total de términos de tamaño $k$ en todas las secuencias.

Sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos tales que $ a \cdot b + 1$ divide a $ a^{2} + b^{2}$ . Demuestre que $ \frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.

Sea $T$ un triángulo con círculo inscrito $C.$ Un cuadrado con lados de longitud $a$ está circunscrito sobre el mismo círculo $C.$ Demuestre que la longitud total de las partes del borde del cuadrado interior al triángulo $T$ es al menos $2 \cdot a.$

Demuestre que no existen más de $27$ semirectas (o rayos) que emanan del origen en el espacio $3$ - dimensional, tal que el ángulo entre cada par de rayos es $ \geq \frac{\pi}{4}$ .

Sean $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ $ m$ vectores en el plano, cada uno de longitud $ \leq 1,$ con suma cero. Demuestre que uno puede ordenar $ u_1, u_2, \ldots, u_m$ como una secuencia $ v_1, v_2, \ldots, v_m$ tal que cada suma parcial $ v_1, v_1 + v_2, v_1 + v_2 + v_3, \ldots, v_1, v_2, \ldots, v_m$ tenga una longitud menor o igual a $ \sqrt {5}.$

Sea $ a$ la raíz positiva más grande de la ecuación $ x^3 - 3 \cdot x^2 + 1 = 0.$ Demuestra que $ \left[a^{1788} \right]$ y $ \left[a^{1988} \right]$ son ambos divisibles por 17. Aquí $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$

Si $a_0$ es un número real positivo, considera la secuencia $\{a_n\}$ definida por: \[ a_{n+1} = \frac{a^2_n - 1}{n+1}, n \geq 0. \] Muestra que existe un número real $a > 0$ tal que: i.) para todo $a_0 \geq a,$ la secuencia $\{a_n\} \rightarrow \infty,$ ii.) para todo $a_0 < a,$ la secuencia $\{a_n\} \rightarrow 0.$