Encuentre una condición necesaria y suficiente para que el número natural $n$ para la ecuación \[ x^n + (2 + x)^n + (2 - x)^n = 0 \] tenga una raíz integral.

Asumiendo que las raíces de $x^3 + p \cdot x^2 + q \cdot x + r = 0$ son reales y positivas, encuentre una relación entre $p,q$ y $r$ que dé una condición necesaria para que las raíces sean exactamente los cosenos de los tres ángulos de un triángulo.

El círculo $x^2+ y^2 = r^2$ se encuentra con el eje de coordenadas en $A = (r,0), B = (-r,0), C = (0,r)$ y $D = (0,-r).$ Sean $P = (u,v)$ y $Q = (-u,v)$ dos puntos en la circunferencia del círculo. Sea $N$ el punto de intersección de $PQ$ y el eje $y$, y $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al eje $x$. Si $r^2$ es impar, $u = p^m > q^n = v,$ donde $p$ y $q$ son números primos y $m$ y $n$ son números naturales, demuestre que \[ |AM| = 1, |BM| = 9, |DN| = 8, |PQ| = 8. \]

Encuentra el número total de enteros diferentes que toma la función \[ f(x) = \left[x \right] + \left[2 \cdot x \right] + \left[\frac{5 \cdot x}{3} \right] + \left[3 \cdot x \right] + \left[4 \cdot x \right] \] para $0 \leq x \leq 100.$

Encuentra los enteros positivos $x_1, x_2, \ldots, x_{29}$ al menos uno de los cuales es mayor que 1988 de modo que \[ x^2_1 + x^2_2 + \ldots x^2_{29} = 29 \cdot x_1 \cdot x_2 \ldots x_{29}. \]

En un triángulo rectángulo $ ABC$ sea $ AD$ la altura trazada a la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ intersecta los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K,L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, demuestra que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

En un triángulo $ ABC,$ elige cualquier punto $ K \in BC, L \in AC, M \in AB, N \in LM, R \in MK$ y $ F \in KL.$ Si $ E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ y $ E$ denotan las áreas de los triángulos $ AMR, CKR, BKF, ALF, BNM, CLN$ y $ ABC$ respectivamente, demuestra que \[ E \geq 8 \cdot \sqrt [6]{E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6}. \]

Sean 'AB' y $CD$ dos cuerdas perpendiculares de un círculo con centro $O$ y radio $r$ y sean $X,Y,Z,W$ denotan el orden cíclico de las cuatro partes en las que el disco se divide así. Encuentra el máximo y el mínimo de la cantidad \[ \frac{A(X) + A(Z)}{A(Y) + A(W)}, \] donde $A(U)$ denota el área de $U.$

La cerradura de una caja fuerte consta de 3 ruedas, cada una de las cuales se puede colocar en 8 posiciones diferentes. Debido a un defecto en el mecanismo de la caja fuerte, la puerta se abrirá si dos de las tres ruedas están en la posición correcta. ¿Cuál es el número más pequeño de combinaciones que se deben probar si se quiere garantizar la posibilidad de abrir la caja fuerte (asumiendo que la 'combinación correcta' no se conoce)?

Sea $Z_{m,n}$ el conjunto de todos los pares ordenados $(i,j)$ con $i \in {1, \ldots, m}$ y $j \in {1, \ldots, n}.$ Además, sea $a_{m,n}$ el número de todos aquellos subconjuntos de $Z_{m,n}$ que no contienen 2 pares ordenados $(i_1,j_1)$ y $(i_2,j_2)$ con $|i_1 - i_2| + |j_1 - j_2| = 1.$ Entonces demuestre, para todos los enteros positivos $m$ y $k,$ que \[ a^2_{m, 2 \cdot k} \leq a_{m, 2 \cdot k - 1} \cdot a_{m, 2 \cdot k + 1}. \]