Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1988 Problema 37
Cuatro bolas de radio 1 son mutuamente tangentes, tres descansan en el suelo y la cuarta descansa sobre las demás. Un tetraedro, cada uno de cuyos bordes tiene longitud $ s,$ está circunscrito alrededor de las bolas. Encuentra el valor de $ s.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1988 Problema 36.1
Sea $E$ un punto externo a un círculo y suponga que dos cuerdas $EAB$ y $EDC$ se encuentran en un ángulo de $40^{\circ}.$ Si $AB = BC = CD$ encuentre el tamaño del ángulo $ACD.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1988 Problema 36
Sea $ABC$ un triángulo con $AB = 12$ y $AC = 16.$ Suponga que $M$ es el punto medio del lado $BC$ y los puntos $E$ y $F$ se eligen en los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente, y suponga que las líneas $EF$ y $AM$ se intersecan en $G.$ Si $AE = 2 \cdot AF$ entonces encuentre la razón \[ \frac{EG}{GF} \]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 35
Una secuencia de números $a_n, n = 1,2, \ldots,$ se define como sigue: $a_1 = \frac{1}{2}$ y para cada $n \geq 2$ \[ a_n = \frac{2 n - 3}{2 n} a_{n-1}. \] Demuestre que $\sum^n_{k=1} a_k < 1$ para todo $n \geq 1.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 34
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las líneas $L_{A}$ , $L_{B}$ y $L_{C}$ se construyen a través de los vértices $A$ , $B$ y $C$ respectivamente según la siguiente prescripción: Sea $H$ el pie de la altura trazada desde el vértice $A$ al lado $BC$ ; sea $S_{A}$ el círculo con diámetro $AH$ ; sea $S_{A}$ encontrar los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ respectivamente, donde $M$ y $N$ son distintos de $A$ ; entonces sea $L_{A}$ la línea que pasa por $A$ perpendicular a $MN$ . Las líneas $L_{B}$ y $L_{C}$ se construyen de manera similar. Demuestre que las líneas $L_{A}$ , $L_{B}$ y $L_{C}$ son concurrentes.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 33
En una prueba de opción múltiple había 4 preguntas y 3 respuestas posibles para cada pregunta. Se examinó a un grupo de estudiantes y resultó que para cada tres de ellos había una pregunta que los tres estudiantes respondieron de manera diferente. ¿Cuál es el número máximo de estudiantes examinados?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 32
Se dan $n$ puntos en la superficie de una esfera. Demuestre que la superficie se puede dividir en $n$ regiones congruentes de tal manera que cada una de ellas contenga exactamente uno de los puntos dados.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 31
¿Para qué valores de $n$ existe una matriz de $n \times n$ de entradas -1, 0 o 1 tal que las $2 \cdot n$ sumas obtenidas al sumar los elementos de las filas y las columnas son todas diferentes?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas Listas Largas 1988 Problema 30
En el triángulo $ABC$ sean $D,E$ y $F$ los puntos medios de los tres lados, $X,Y$ y $Z$ los pies de las tres alturas, $H$ el ortocentro, y $P,Q$ y $R$ los puntos medios del segmento de línea que une $H$ a los tres vértices. Demuestre que los nueve puntos $D,E,F,P,Q,R,X,Y,Z$ se encuentran en un círculo.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas Listas Largas 1988 Problema 29
Exprese el número 1988 como la suma de algunos enteros positivos de tal manera que el producto de estos enteros positivos sea máximo.
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