En el triángulo $ABC, AB = AC$ y $\angle CAB = 80^{\circ}.$ Si los puntos $D,E$ y $F$ se encuentran en los lados $BC, AC$ y $AB,$ respectivamente y $CE = CD$ y $BF = BD,$ entonces encuentre el tamaño de $\angle EDF.$

Considere un círculo $K$ con diámetro $AB;$ con un círculo $L$ tangente a $AB$ y a $K$ y con un círculo $M$ tangente al círculo $K,$ círculo $L$ y $AB.$ Calcule la razón del área del círculo $K$ al área del círculo $M.$

La función $f$ satisface la ecuación funcional $f(x) + f(y) = f(x+y) - x \cdot y - 1$ para cada par $x,y$ de números reales. Si $f(1) = 1,$ entonces encuentre el número de enteros $n,$ para los cuales $f(n) = n.$

Si $k$ es un número positivo y $f$ es una función tal que, para cada número positivo $x, f(x^2 + 1 )^{\sqrt{x}} = k.$ Encuentre el valor de \[ f( \frac{9 +y^2}{y^2})^{\sqrt{ \frac{12}{y} }} \] para cada número positivo $y.$

Sea $g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$ ¿Cuál es el resto cuando el polinomio $g(x^{12}$ se divide por el polinomio $g(x)$ ?

¿Cuál es el entero impar positivo más pequeño $n$ tal que el producto de \[ 2^{\frac{1}{7}}, 2^{\frac{3}{7}}, \ldots, 2^{\frac{2 \cdot n + 1}{7}} \] es mayor que 1000?

Si $r$ es el resto cuando cada uno de los números 1059, 1417 y 2312 se divide por $d,$ donde $d$ es un entero mayor que uno, entonces encuentre el valor de $d-r.$

Si $p,q$ y $r$ son raíces distintas de $x^3 - x^2 + x - 2 = 0$ entonces encuentre el valor de $p^3 + q^3 + r^3.$

El polinomio $x^{2 \cdot k} + 1 + (x+1)^{2 \cdot k}$ no es divisible por $x^2 + x + 1.$ Encuentra el valor de $k.$

Suponga que $ ABCD$ y $ EFGH$ son caras opuestas de un sólido rectangular, con $ \angle DHC = 45^{\circ}$ y $ \angle FHB = 60^{\circ}.$ Encuentre el coseno de $ \angle BHD.$