Pruebe que los números $A,B$ y $C$ son iguales, donde: - $A=$ número de formas en que podemos cubrir un rectángulo de $2 \times n$ con rectángulos de $2 \times 1$. - $B=$ número de secuencias de unos y doses que suman $n$ - $C= \sum^m_{k=0} \binom{m + k}{2 \cdot k}$ si $n = 2 \cdot m,$ y - $C= \sum^m_{k=0} \binom{m + k + 1}{2 \cdot k + 1}$ si $n = 2 \cdot m + 1.$

Sea $ f(n)$ una función definida en el conjunto de todos los enteros positivos y que tiene sus valores en el mismo conjunto. Suponga que $ f(f(n) + f(m)) = m + n$ para todos los enteros positivos $ n,m.$ Encuentre el valor posible para $ f(1988).$

Considere 2 círculos concéntricos de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fije $ P$ en el círculo pequeño y considere la cuerda variable $ PA$ del círculo pequeño. Los puntos $ B$ y $ C$ se encuentran en el círculo grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ es extremal? ii.) ¿Cuáles son las posibles posiciones de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?

En el pentágono convexo $ ABCDE,$ los lados $ BC, CD, DE$ son iguales. Además, cada diagonal del pentágono es paralela a un lado ( $ AC$ es paralela a $ DE$ , $ BD$ es paralela a $ AE$ etc.). Pruebe que $ ABCDE$ es un pentágono regular.

Sean $A_1, A_2, \ldots, A_{29}$ 29 secuencias diferentes de enteros positivos. Para $1 \leq i < j \leq 29$ y cualquier número natural $x,$ definimos $N_i(x) =$ número de elementos de la secuencia $A_i$ que son menores o iguales a $x,$ y $N_{ij}(x) =$ número de elementos de la intersección $A_i \cap A_j$ que son menores o iguales a $x.$ Se da para todo $1 \leq i \leq 29$ y todo número natural $x,$ \[ N_i(x) \geq \frac{x}{e}, \] donde $e = 2.71828 \ldots$ Pruebe que existe al menos un par $i,j$ ( $1 \leq i < j \leq 29$ ) tal que \[ N_{ij}(1988) > 200. \]

Sea $g(n)$ definida como sigue: \[ g(1) = 0, g(2) = 1 \] y \[ g(n+2) = g(n) + g(n+1) + 1, n \geq 1. \] Demuestra que si $n > 5$ es un primo, entonces $n$ divide a $g(n) \cdot (g(n) + 1).$

Sea $-1 < x < 1.$ Muestra que \[ \sum^{6}_{k=0} \frac{1 - x^2}{1 - 2 \cdot x \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot k }{7} \right) + x^2} = \frac{7 \cdot \left( 1 + x^7 \right)}{\left( 1 - x^7 \right)}. \] Deduce que \[ \csc^2\left( x + \frac{\pi}{7} \right) + \csc^2\left(2 \cdot x + \frac{\pi}{7} \right) + \csc^2\left(3 \cdot x + \frac{\pi}{7} \right) = 8. \]

Encuentra todos los triángulos planos cuyos lados tienen longitud entera y cuyos incírculos tienen radio unitario.

Muestra que el conjunto solución de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuya longitud es 1988.

i.) Calcula $x$ si \[ x = \frac{(11 + 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 - 6 \cdot \sqrt{2}} - (11 - 6 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{11 + 6 \cdot \sqrt{2}}}{(\sqrt{\sqrt{5} + 2} + \sqrt{\sqrt{5} - 2}) - (\sqrt{\sqrt{5}+1})} \] ii.) Para cada número positivo $x,$ sea \[ k = \frac{\left( x + \frac{1}{x} \right)^6 - \left( x^6 + \frac{1}{x^6} \right) - 2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right)} \] Calcula el valor mínimo de $k.$