La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 12:44 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre la identidad \[\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\tan\frac{x}{2}\right)^{2k}\left(1+\frac{2^k}{\left(1-\tan^2\frac{x}{2}\right)^k}\right)=\sec^{2n}\frac{x}{2}+\sec^n x\] para cualquier número natural $n$ y cualquier ángulo $x.$ Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por djmathman, 7 de mar. de 2017, 10:54 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 12:13 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más Sin usar tablas, encuentre el valor exacto del producto: \[P = \prod^7_{k=1} \cos \left(\frac{k \pi}{15} \right).\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 5:23 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$, llamamos a un par $(x_i, x_j )$ discordante si $i < j$ y $x_i > x_j$. Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Encuentre $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 12:13 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $k_1$ y $k_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ y radio igual $r$ tales que $O_1O_2 = r$. Sean $A$ y $B$ dos puntos situados en el círculo $k_1$ y que son simétricos entre sí con respecto a la recta $O_1O_2$. Sea $P$ un punto arbitrario en $k_2$. Demuestre que \[PA^2 + PB^2 \geq 2r^2.\] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 24 de sep. de 2005, 1:14 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 12:57 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Amir Hossein, Mango247 Demuestre esta proposición: El centro de la esfera circunscrita alrededor de un tetraedro coincide con el centro de la esfera inscrita en dicho tetraedro si y solo si las aristas opuestas del tetraedro son iguales. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 12:19 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para un par arbitrario de vectores $f$ y $g$ en el espacio, la desigualdad \[af^2 + bfg +cg^2 \geq 0\] se cumple si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones: \[a \geq 0, \quad c \geq 0, \quad 4ac \geq b^2.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 12:10 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el espacio se dan $n \geq 3$ puntos. Cada par de puntos determina una distancia. Suponga que todas las distancias son diferentes. Conecte cada punto con el punto más cercano. Demuestre que es imposible obtener una línea poligonal (cerrada) de tal manera. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 2:04 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La función $\varphi(x,y,z)$ definida para todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales, es tal que existen dos funciones $f$ y $g$ definidas para todos los pares de números reales, tales que \[\varphi(x,y,z) = f(x+y,z) = g(x,y+z)\] para todos los números reales $x,y$ y $z.$ Demuestre que existe una función $h$ de una variable real, tal que \[\varphi(x,y,z) = h(x+y+z)\] para todos los números reales $x,y$ y $z.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 12:18 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Tres discos de diámetro $d$ tocan una esfera en sus centros. Además, cada disco toca a los otros dos discos. ¿Cómo elegir el radio $R$ de la esfera para que el eje de toda la figura forme un ángulo de $60^\circ$ con la línea que conecta el centro de la esfera con el punto de los discos que se encuentra a la mayor distancia del eje? (El eje de la figura es la línea que tiene la propiedad de que una rotación de la figura de $120^\circ$ alrededor de esa línea lleva a la figura a su posición inicial. Los discos están todos en un mismo lado del plano que pasa por el centro de la esfera y es ortogonal al eje). Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 16 de dic. de 2004, 12:30 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCD$ un tetraedro regular. A un punto arbitrario $M$ en una arista, digamos $CD$, le corresponde el punto $P = P(M)$ que es la intersección de dos rectas $AH$ y $BK$, trazadas desde $A$ perpendicularmente a $BM$ y desde $B$ perpendicularmente a $AM$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $P$ cuando $M$ varía? Z K Y