Dados enteros $a_1, \ldots, a_{10},$ demostrar que existe una secuencia no nula $\{x_1, \ldots, x_{10}\}$ tal que todos los $x_i$ pertenecen a $\{-1,0,1\}$ y el número $\sum^{10}_{i=1} x_i \cdot a_i$ es divisible por 1001.

En el espacio de dimensión 3 se da un punto $O$ y un conjunto finito $A$ de segmentos con la suma de longitudes igual a $1988$. Demostrar que existe un plano disjunto de $A$ tal que la distancia desde él hasta $O$ no exceda de $574$.

Para un polígono convexo $P$ en el plano, sea $P'$ el polígono convexo con vértices en los puntos medios de los lados de $P.$ Dado un entero $n \geq 3,$ determinar cotas precisas para la razón\n\[\n\frac{\text{area } P'}{\text{area } P},\n\]\nsobre todos los $n$ - gonos convexos $P.$

$ S$ es el conjunto de todas las secuencias $ \{a_i| 1 \leq i \leq 7, a_i = 0 \text{ o } 1\}.$ La distancia entre dos elementos $ \{a_i\}$ y $ \{b_i\}$ de $ S$ se define como \[ \sum^7_{i = 1} |a_i - b_i|.\n\]\n$ T$ es un subconjunto de $ S$ en el que dos elementos cualesquiera tienen una distancia entre sí mayor o igual a 3. Demostrar que $ T$ contiene como máximo 16 elementos. Dar un ejemplo de tal subconjunto con 16 elementos.

Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano, donde no hay cuatro puntos colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos son de color azul, los 200 restantes son de color rojo. Demostrar que existe una línea en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la línea divide el plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos.

Suponga que $\alpha_i > 0, \beta_i > 0$ para $1 \leq i \leq n, n > 1$ y que \[ \sum^n_{i=1} \alpha_i = \sum^n_{i=1} \beta_i = \pi. \] Demuestre que \[ \sum^n_{i=1} \frac{\cos(\beta_i)}{\sin(\alpha_i)} \leq \sum^n_{i=1} \cot(\alpha_i). \]

Encuentre el menor número natural $n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos no intersecantes, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos es igual al tercero.

Dados $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n,$ no tres colineales, demuestre que el $n$ - gono $A_1 A_2 \ldots A_n,$ está inscrito en un círculo si y sólo si $A_1 A_2 \cdot A_3 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-1} A_n + A_2 A_3 \cdot A_4 A_n \cdot \ldots A_{n-1} A_n \cdot A_1 A_n + \ldots$ $+ A_{n-1} A_{n-2} \cdot A_1 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-3} A_n$ $= A_1 A_{n-1} \cdot A_2 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-2} A_n$ , donde $XY$ denota la longitud del segmento $XY.$

$ABCD$ es un cuadrilátero. $A'BCD'$ es la reflexión de $ABCD$ en $BC,$ $A''B'CD'$ es la reflexión de $A'BCD'$ en $CD'$ y $A''B''C'D'$ es la reflexión de $A''B'CD'$ en $D'A''.$ Demuestre que; si las líneas $AA''$ y $BB''$ son paralelas, entonces ABCD es un cuadrilátero cíclico.

El entero positivo $n$ tiene la propiedad de que, en cualquier conjunto de $n$ enteros, elegidos entre los enteros $1,2, \ldots, 1988,$ veintinueve de ellos forman una progresión aritmética. Demuestre que $n > 1788.$