$ABC$ es un triángulo, con inradio $r$ y circunradio $R$. Demuestre que: \[ \sin \left( \frac{A}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{B}{2} \right) + \sin \left( \frac{B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{C}{2} \right) + \sin \left( \frac{C}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A}{2} \right) \leq \frac{5}{8} + \frac{r}{4 \cdot R}. \]

Sea $Q$ el centro del círculo inscrito de un triángulo $ABC$. Pruebe que para cualquier punto $P$, \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2, \] donde $a = BC, b = CA$ y $c = AB.$

En un grupo de $n$ personas, cada una conoce exactamente a otras tres. Están sentadas alrededor de una mesa. Decimos que la disposición de los asientos es $perfecta$ si cada uno conoce a los dos que están sentados a su lado. Demuestre que, si hay una disposición de asientos perfecta $S$ para el grupo, entonces siempre hay otra disposición de asientos perfecta que no se puede obtener de $S$ por rotación o reflexión.

Para cada entero positivo $k$ y $n$, sea $S_k(n)$ la suma de los dígitos en base $k$ de $n$. Pruebe que hay a lo sumo dos primos $p$ menores que $20,000$ para los cuales $S_{31}(p)$ son números compuestos con al menos dos divisores primos distintos.

Sea $C$ un cubo con aristas de longitud 2. Construya un sólido con catorce caras cortando las ocho esquinas de $C$, manteniendo las nuevas caras perpendiculares a las diagonales del cubo, y manteniendo las caras recién formadas idénticas. Si al concluir este proceso las catorce caras tienen la misma área, encuentre el área de cada cara del nuevo sólido.

En un triángulo rectángulo $ ABC$, sea $ AD$ la altura trazada a la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ interseca los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K,L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, muestra que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

Muestra que el conjunto solución de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuya longitud es 1988.

Una función $ f$ definida en los enteros positivos (y que toma valores enteros positivos) está dada por: $ \begin{matrix} f(1) = 1, f(3) = 3 \\ f(2 \cdot n) = f(n) \\ f(4 \cdot n + 1) = 2 \cdot f(2 \cdot n + 1) - f(n) \\ f(4 \cdot n + 3) = 3 \cdot f(2 \cdot n + 1) - 2 \cdot f(n), \end{matrix}$ para todos los enteros positivos $ n.$ Determine con prueba la cantidad de enteros positivos $ \leq 1988$ para los cuales $ f(n) = n.$

Sea $ n$ un entero positivo par. Sean $ A_1, A_2, \ldots, A_{n + 1}$ conjuntos que tienen $ n$ elementos cada uno, de modo que dos cualesquiera de ellos tienen exactamente un elemento en común, mientras que cada elemento de su unión pertenece al menos a dos de los conjuntos dados. ¿Para qué $ n$ se puede asignar a cada elemento de la unión uno de los números 0 y 1 de tal manera que cada uno de los conjuntos tenga exactamente $ \frac {n}{2}$ ceros?

Considera 2 círculos concéntricos de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fija $ P$ en el círculo pequeño y considera la cuerda variable $ PA$ del círculo pequeño. Los puntos $ B$ y $ C$ se encuentran en el círculo grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ es extremal? ii.) ¿Cuáles son las posiciones posibles de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?