La secuencia $ \{a_n\}$ de enteros está definida por \[ a_1 = 2, a_2 = 7 \]\ny \[ - \frac {1}{2} < a_{n + 1} - \frac {a^2_n}{a_{n - 1}} \leq \frac {}{}, n \geq 2. \]\nPrueba que $ a_n$ es impar para toda $ n > 1.$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $ L$ cualquier línea en el plano del triángulo $ ABC$ . Denotemos por $ u$ , $ v$ , $ w$ las longitudes de las perpendiculares a $ L$ desde $ A$ , $ B$ , $ C$ respectivamente. Pruebe la desigualdad $ u^2\cdot\tan A + v^2\cdot\tan B + w^2\cdot\tan C\geq 2\cdot S$ , donde $ S$ es el área del triángulo $ ABC$ . Determine las líneas $ L$ para las cuales se cumple la igualdad.

Se propone dividir un conjunto de enteros positivos en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ sujetos a las condiciones i.) 1 está en $ A$ ii.) no hay dos miembros distintos de $ A$ que tengan una suma de la forma $ 2^k + 2, k = 0,1,2, \ldots;$ y iii.) no hay dos miembros distintos de B que tengan una suma de esa forma. Demuestre que esta partición se puede llevar a cabo de manera única y determine los subconjuntos a los que pertenecen 1987, 1988 y 1989.

Una función $ f$ definida en los enteros positivos (y que toma valores enteros positivos) está dada por: $ \begin{matrix} f(1) = 1, f(3) = 3 \ \nf(2 \cdot n) = f(n) \ \nf(4 \cdot n + 1) = 2 \cdot f(2 \cdot n + 1) - f(n) \ \nf(4 \cdot n + 3) = 3 \cdot f(2 \cdot n + 1) - 2 \cdot f(n), \end{matrix}$ para todos los enteros positivos $ n.$ Determine con prueba la cantidad de enteros positivos $ \leq 1988$ para los cuales $ f(n) = n.$

Un entero positivo se llama número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestre que hay infinitos números dobles que son cuadrados perfectos.

Sea $S$ un conjunto infinito de enteros que contiene el cero, y tal que las distancias entre números sucesivos nunca excedan un número fijo dado. Considera el siguiente procedimiento: Dado un conjunto $X$ de enteros, construimos un nuevo conjunto que consiste en todos los números $x \pm s,$ donde $x$ pertenece a $X$ y $s$ pertenece a $S.$ Comenzando con $S_0 = \{0\}$, construimos sucesivamente los conjuntos $S_1, S_2, S_3, \ldots$ usando este procedimiento. Demuestra que después de un número finito de pasos no obtenemos ningún conjunto nuevo, es decir, $S_k = S_{k_0}$ para $k \geq k_0.$

Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una sucesión de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0 \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestra que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2} \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ .

Un juego para dos personas se juega con nueve cajas dispuestas en un cuadrado de $3 \times 3$ y con piedras blancas y negras. En cada movimiento, un jugador coloca tres piedras, no necesariamente del mismo color, en tres cajas en una línea horizontal o vertical. Ninguna caja puede contener piedras de diferentes colores: si, por ejemplo, un jugador coloca una piedra blanca en una caja que contiene piedras negras, la piedra blanca y una de las piedras negras se retiran de la caja. El juego termina cuando la caja central y las cajas de las esquinas contienen una piedra negra y las otras cajas están vacías. En una etapa de un juego, $x$ cajas contenían una piedra negra cada una y las otras cajas estaban vacías. Determina todos los valores posibles para $x.$

Considera $h+1$ tableros de ajedrez. Numera las casillas de cada tablero del 1 al 64 de tal manera que cuando los perímetros de dos tableros cualesquiera de la colección coincidan de cualquier manera posible, no haya dos casillas en la misma posición que tengan el mismo número. ¿Cuál es el valor máximo de $h?$

El cuadrilátero $A_1A_2A_3A_4$ es cíclico, y sus lados son $a_1 = A_1A_2, a_2 = A_2A_3, a_3 = A_3A_4$ y $a_4 = A_4A_1$. Los círculos respectivos con centros $I_i$ y radios $r_i$ son tangentes externamente a cada lado $a_i$ y a los lados $a_{i+1}$ y $a_{i-1}$ extendidos. ( $a_0 = a_4$ ) . Demuestra que \[ \prod^4_{i=1} \frac{a_i}{r_i} = 4 \cdot (\csc (A_1) + \csc (A_2) )^2. \]