¿Existe un número $\alpha, 0 < \alpha < 1$ tal que existe una secuencia infinita $\{a_n\}$ de números positivos que satisfacen \[ 1 + a_{n+1} \leq a_n + \frac{\alpha}{n} \cdot \alpha_n, n = 1,2, \ldots? \]

Hacemos corresponder conjuntos $M$ de puntos en el plano de coordenadas a conjuntos $M*$ de acuerdo con la regla de que $ (x*,y*) \in M*$ si y sólo si $ x \cdot x* + y \cdot y* \leq 1$ siempre que $ (x,y) \in M.$ Encuentra todos los triángulos $Q$ tales que $Q*$ es la reflexión de $Q$ en el origen.

Se dan siete círculos. Es decir, hay seis círculos dentro de un círculo fijo, cada uno tangente al círculo fijo y tangente a los otros dos círculos adyacentes más pequeños. Si los puntos de contacto entre los seis círculos y el círculo más grande son, en orden, $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ y $A_6$ pruebe que \[ A_1 A_2 \cdot A_3 A_4 \cdot A_5 A_6 = A_2 A_3 \cdot A_4 A_5 \cdot A_6 A_1. \]

En una fila escrita en orden creciente todos los números racionales positivos irreducibles, tales que el producto del numerador y el denominador es menor que 1988. Pruebe que cualesquiera dos fracciones adyacentes $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d},$ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d},$ satisfacen la ecuación $b \cdot c - a \cdot d = 1.$

Sean $a,b,c$ enteros diferentes de cero. Se sabe que la ecuación $a \cdot x^2 + b \cdot y^2 + c \cdot z^2 = 0$ tiene una solución $(x,y,z)$ en números enteros diferentes de las soluciones $x = y = z = 0.$ Pruebe que la ecuación \[ a \cdot x^2 + b \cdot y^2 + c \cdot z^2 = 1 \] tiene una solución en números racionales.

Un número par de personas tienen una discusión alrededor de una mesa circular. Después de un descanso, se sientan nuevamente alrededor de la mesa circular en un orden diferente. Demuestre que hay al menos dos personas tales que el número de participantes sentados entre ellos antes y después de un descanso es el mismo.

Se elige un punto $M$ en el lado $AC$ del triángulo $ABC$ de tal manera que los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ABM$ y $BMC$ sean iguales. Demuestre que \n\n$ BM^{2} = X \cot \left( \frac {B}{2}\right)$\n\ndonde X es el área del triángulo $ABC$.

Una serie de luces de señal están espaciadas equitativamente a lo largo de una vía férrea de un solo sentido, etiquetadas en orden $1,2, \ldots, N, N \geq 2$. Como regla de seguridad, no se permite que un tren pase una señal si algún otro tren está en movimiento en la longitud de la vía entre ella y la señal siguiente. Sin embargo, no hay límite para el número de trenes que pueden estacionarse inmóviles en una señal, uno detrás del otro. (Suponga que los trenes tienen longitud cero). Una serie de $K$ trenes de carga deben ser conducidos desde la Señal 1 a la Señal $N$. Cada tren viaja a una velocidad distinta pero constante en todo momento cuando no está bloqueado por la regla de seguridad. Demuestre que, independientemente del orden en que estén dispuestos los trenes, transcurrirá el mismo tiempo entre la salida del primer tren de la Señal 1 y la llegada del último tren a la Señal $N$.

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $C$. El punto $P$ se encuentra en el segmento $AC$ de tal manera que los triángulos $PBA$ y $PBC$ tienen círculos inscritos congruentes. Exprese la longitud $x = PC$ en términos de $a = BC, b = CA$ y $c = AB$.

Hay $n \geq 3$ vacantes de empleo en una fábrica, clasificadas de $1$ a $n$ en orden de aumento de salario. Hay $n$ solicitantes de empleo, clasificados del $1$ al $n$ en orden de aumento de capacidad. El solicitante $i$ está calificado para el trabajo $j$ si y solo si $i \geq j$. Los solicitantes llegan de uno en uno en orden aleatorio. Cada uno a su vez es contratado para el trabajo de mayor rango para el que está calificado Y que es de rango inferior a cualquier trabajo ya cubierto. (Según estas reglas, el trabajo $1$ siempre se cubre, y la contratación finaliza a partir de entonces). Demuestre que los solicitantes $n$ y $n - 1$ tienen la misma probabilidad de ser contratados.