Olimpiada Tuymaada Junior 2008 Problema 6
Sea $ ABCD$ un trapecio isósceles con $ AD \parallel BC$. Sus diagonales $ AC$ y $ BD$ se intersectan en el punto $ M$. Los puntos $ X$ e $ Y$ en el segmento $ AB$ son tales que $ AX = AM$, $ BY = BM$. Sea $ Z$ el punto medio de $ XY$ y $ N$ es el punto de intersección de los segmentos $ XD$ e $ YC$. Demuestra que la línea $ ZN$ es paralela a las bases del trapecio.
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Olimpiada Tuymaada Junior 2008 Problema 5
Un cargador tiene un vagón y una carretilla. El vagón puede transportar hasta 1000 kg, y la carretilla puede transportar sólo hasta 1 kg. Un número finito de sacos con arena yacen en un almacén. Se sabe que su peso total es más de 1001 kg, mientras que cada saco pesa no más de 1 kg. ¿Qué peso máximo de arena puede transportar el cargador en el vagón y la carretilla, independientemente de los pesos particulares de los sacos?
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Olimpiada Tuymaada Junior 2008 Problema 4
El punto $ I_1$ es la reflexión del incentro $ I$ del triángulo $ ABC$ a través del lado $ BC$. La circunferencia circunscrita de $ BCI_1$ intersecta la línea $ II_1$ nuevamente en el punto $ P$. Se sabe que $ P$ se encuentra fuera de la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$. Dos tangentes trazadas desde $ P$ a la última circunferencia la tocan en los puntos $ X$ e $ Y$. Demuestra que la línea $ XY$ contiene una línea media del triángulo $ ABC$.
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Olimpiada Tuymaada Junior 2008 Problema 3
100 cuadrados unitarios de un plano cuadrado infinito forman un cuadrado de $ 10\times 10$. Los segmentos unitarios que forman estos cuadrados están coloreados en varios colores. Se sabe que el borde de cada cuadrado con lados en las líneas de la cuadrícula contiene segmentos de a lo sumo dos colores. (Tal cuadrado no está necesariamente contenido en el cuadrado original de $ 10\times 10$.) ¿Qué número máximo de colores puede aparecer en esta coloración?
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Olimpiada Tuymaada Junior 2008 Problema 2
¿Es posible colocar en un círculo todos los enteros positivos compuestos que no superen $ 10^6$ , de modo que ningún par de números vecinos sean coprimos? Demuestra que todos los enteros positivos compuestos que no superen $ 10^6$ pueden colocarse en un círculo de modo que ningún par de números vecinos sean coprimos.
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Olimpiada Tuymaada Junior 2008 Problema 1
Retratos de científicos famosos cuelgan en una pared. Los científicos vivieron entre 1600 y 2008, y ninguno de ellos vivió más de 80 años. Vasya multiplicó los años de nacimiento de estos científicos, y Petya multiplicó los años de su muerte. El resultado de Petya es exactamente $ 5\over 4$ veces mayor que el resultado de Vasya. ¿Qué número mínimo de retratos puede haber en la pared?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 94
Sean $n+1, n \geq 1$ enteros positivos formados tomando el producto de $n$ números primos dados (un número primo puede aparecer varias veces o también no aparecer en absoluto en un producto formado de esta manera). Demuestra que entre estos $n+1$ se pueden encontrar algunos números cuyo producto es un cuadrado perfecto.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 93
Dado un número natural $n,$ encuentra todos los polinomios $P(x)$ de grado menor que $n$ que satisfacen la siguiente condición \[ \sum^n_{i=0} P(i) \cdot (-1)^i \cdot \binom{n}{i} = 0. \]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 92
Sea $p \geq 2$ un número natural. Demuestra que existe un entero $n_0$ tal que \[ \sum^{n_0}_{i=1} \frac{1}{i \cdot \sqrt[p]{i + 1}} > p. \]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1988 Problema 91
Un 14-gono regular con lado $a$ está inscrito en un círculo de radio uno. Demuestra que \[ \frac{2-a}{2 \cdot a} > \sqrt{3 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{7} \right)}. \]
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