La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 3 de noviembre de 2010, 1:37 AM • 1 Y Y por Adventure10 Tenemos $p$ jugadores participando en un torneo, donde cada jugador juega contra todos los demás exactamente una vez. Se obtiene un punto por cada victoria y no hay empates. Se da una sucesión de enteros no negativos $s_1 \le s_2 \le s_3 \le\cdots\le s_p$. Demuestre que es posible que esta sucesión sea un conjunto de puntuaciones finales de los jugadores en el torneo si y solo si \[(i)\displaystyle\sum_{i=1}^{p} s_i =\frac{1}{2}p(p-1)\] \[\text{y}\] \[(ii)\text{ para todo }k < p,\displaystyle\sum_{i=1}^{k} s_i \ge \frac{1}{2} k(k - 1).\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 2 de noviembre de 2010, 10:36 PM • 1 Y Y por Adventure10 En una recta se da un conjunto de segmentos de longitud total menor que $n$. Demuestre que todo conjunto de $n$ puntos de la recta puede ser trasladado en alguna dirección a lo largo de la recta una distancia menor que $\frac{n}{2}$ de modo que ninguno de los puntos permanezca sobre los segmentos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 3 de nov. de 2010, 1:59 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(a)$ Un plano $\pi$ pasa a través del vértice $O$ del tetraedro regular $OPQR$. Definimos $p, q, r$ como las distancias con signo de $P, Q, R$ respecto a $\pi$, medidas a lo largo de una normal dirigida a $\pi$. Demuestre que \[p^2 + q^2 + r^2 + (q - r)^2 + (r - p)^2 + (p - q)^2 = 2a^2,\] donde $a$ es la longitud de una arista del tetraedro. $(b)$ Dados cuatro planos paralelos, no todos coincidentes, demuestre que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano. Nota: La parte $(b)$ es el Problema 6 de la IMO 1972 Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 3 de noviembre de 2010, 1:47 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre la desigualdad \[(n + 1)\cos\frac{\pi}{n + 1}- n\cos\frac{\pi}{n}> 1\] para todo número natural $n \ge 2.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 4:01 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Adventure10, Mango247 Dado $n>4$, demuestre que todo cuadrilátero cíclico puede ser diseccionado en $n$ cuadriláteros cíclicos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 2 de nov. de 2010, 10:48 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Dada una pirámide cuya base es un $n$-ágono inscribible en un círculo, sea $H$ la proyección del vértice superior de la pirámide sobre su base. Demuestre que las proyecciones de $H$ sobre las aristas laterales de la pirámide yacen sobre un círculo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 2 de nov. de 2010, 10:58 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Un cilindro circular recto sólido con altura $h$ y radio de base $r$ tiene una semiesfera sólida de radio $r$ apoyada sobre él. El centro de la semiesfera $O$ se encuentra en el eje del cilindro. Sea $P$ cualquier punto en la superficie de la semiesfera y $Q$ el punto en el círculo de la base del cilindro que está más alejado de $P$ (midiendo a lo largo de la superficie del sólido combinado). Un hilo se extiende sobre la superficie desde $P$ hasta $Q$ de modo que sea lo más corto posible. Demuestre que si el hilo no está en un plano, la línea recta $PO$ al ser prolongada corta la superficie curva del cilindro. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 8 de sep. de 2010, 5:27 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La tabla armónica es un arreglo triangular: $1$ $\frac 12 \qquad \frac 12$ $\frac 13 \qquad \frac 16 \qquad \frac 13$ $\frac 14 \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 1{12} \qquad \frac 14$ Donde $a_{n,1} = \frac 1n$ y $a_{n,k+1} = a_{n-1,k} - a_{n,k}$ para $1 \leq k \leq n-1.$ Encuentre la media armónica de la fila $1985^{a}.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 1 de nov. de 2010, 8:38 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales el sistema de ecuaciones \[x^4 = yz - x^2 + a,\] \[y^4 = zx - y^2 + a,\] \[z^4 = xy - z^2 + a,\] tiene a lo sumo una solución real. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. K81o7 2417 publicaciones K81o7 #1 h 2 de agosto de 2005, 5:29 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Usted tiene un triángulo, $ABC$ . Dibuje las trisectrices de los ángulos internos. Sea $D$ la intersección de las dos trisectrices más cercanas a $AB$ , sea $E$ la intersección de las dos trisectrices más cercanas a $BC$ , y sea $F$ la intersección de las dos más cercanas a $AC$ . Demuestre que $DEF$ es equilátero. Z K Y