Se da un hexágono convexo. Sea $ s$ la suma de las longitudes de los tres segmentos que conectan los puntos medios de sus lados opuestos. Demuestra que hay un punto en el hexágono tal que la suma de sus distancias a las líneas que contienen los lados del hexágono no excede $ s.$

Un cargador tiene dos carritos. Uno de ellos puede transportar hasta 8 kg, y otro puede transportar hasta 9 kg. Un número finito de sacos con arena yacen en un almacén. Se sabe que su peso total es más de 17 kg, mientras que cada saco pesa no más de 1 kg. ¿Qué peso máximo de arena puede transportar el cargador en sus dos carritos, independientemente de los pesos particulares de los sacos?

Un conjunto $ X$ de enteros positivos se llama bonito si para cada par $ a$, $ b\in X$ exactamente uno de los números $ a + b$ y $ |a - b|$ pertenece a $ X$ (los números $ a$ y $ b$ pueden ser iguales). Determina el número de conjuntos bonitos que contienen el número 2008.

Cada calle en la ciudad de Hamiltonville conecta dos plazas, y se puede llegar a cada plaza por calles desde cualquier otra. El gobernador descubrió que si cerraba todas las plazas de cualquier ruta que no pasara por ninguna plaza más de una vez, cada plaza restante sería accesible entre sí. Demuestra que existe una ruta circular que pasa por cada plaza de la ciudad exactamente una vez.

Un grupo de personas se llama bueno si sus miembros pueden ser distribuidos en varias habitaciones de modo que nadie esté familiarizado con ninguna persona en la misma habitación, pero es posible elegir una persona de cada habitación de modo que todas las personas elegidas estén familiarizadas entre sí. Un grupo se llama perfecto si es bueno y todo conjunto de sus miembros también es bueno. Un grupo perfecto planeó una fiesta. Sin embargo, uno de sus miembros, Alice, trajo a su conocido Bob, quien no estaba originalmente esperado, y lo presentó a todos sus otros conocidos. Demuestra que el nuevo grupo también es perfecto.

El punto $ I_1$ es la reflexión del incentro $ I$ del triángulo $ ABC$ a través del lado $ BC$. La circunferencia circunscrita de $ BCI_1$ intersecta la línea $ II_1$ nuevamente en el punto $ P$. Se sabe que $ P$ se encuentra fuera de la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$. Dos tangentes trazadas desde $ P$ a la última circunferencia la tocan en los puntos $ X$ e $ Y$. Demuestra que la línea $ XY$ contiene una línea media del triángulo $ ABC$.

¿Es posible colocar en un círculo todos los enteros positivos compuestos que no superen $ 10^6$ , de modo que ningún par de números vecinos sean coprimos? Demuestra que todos los enteros positivos compuestos que no superen $ 10^6$ pueden colocarse en un círculo de modo que ningún par de números vecinos sean coprimos.

Varios números irracionales están escritos en una pizarra. Se sabe que para cada dos números $ a$ y $ b$ en la pizarra, al menos uno de los números $ a\over b+1$ y $ b\over a+1$ es racional. ¿Qué número máximo de números irracionales puede haber en la pizarra?

Se eligen 250 números entre los enteros positivos que no superan 501. Demuestra que para cada entero $ t$ hay cuatro números elegidos $ a_1$, $ a_2$, $ a_3$, $ a_4$, tales que $ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 - t$ es divisible por 23.

Un conjunto $ X$ de enteros positivos se llama bonito si para cada par $ a$, $ b\in X$ exactamente uno de los números $ a + b$ y $ |a - b|$ pertenece a $ X$ (los números $ a$ y $ b$ pueden ser iguales). Determina el número de conjuntos bonitos que contienen el número 2008.