Se da un trapecio isósceles $ABCD$ $(AB \parallel CD)$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en los lados $BC$ y $AD$, y los puntos $M$ y $N$ se encuentran en el segmento $EF$ tal que $DF = BE$ y $FM = NE$. Sean $K$ y $L$ los pies de las líneas perpendiculares desde $M$ y $N$ a $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestra que $EKFL$ es un paralelogramo.

Encuentra los ángulos del pentágono $ABCDE$ en la figura a continuación.

Encuentra todas las funciones $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ tales que para todos $x,y\in{{\mathbb{R}}}$ se cumple $f(x^2)+f(2y^2)=(f(x+y)+f(y))(f(x-y)+f(y))$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico en el que las bisectrices del ángulo interno $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se intersecan en la diagonal $AC$ . Sea $M$ el punto medio de $AC$ . La línea paralela a $BC$ que pasa por $D$ corta a $BM$ en $E$ y al círculo $ABCD$ en $F$ ( $F \neq D$ ). Demuestra que $BCEF$ es un paralelogramo.

Jeck y Lisa están jugando un juego en una mesa de dimensiones $m \times n$ , donde $m , n >2$ . Lisa comienza colocando una figura de caballero en un cuadrado arbitrario de la mesa. Después de eso, Jeck y Lisa colocan una nueva figura en la mesa según las siguientes reglas: 1. Jeck coloca una figura de reina en cualquier cuadrado vacío de una mesa que esté a dos cuadrados verticalmente y un cuadrado horizontalmente de distancia, o un cuadrado verticalmente y dos cuadrados horizontalmente de distancia de la última figura de caballero que Lisa colocó en la mesa 2. Lisa coloca una figura de caballero en cualquier cuadrado vacío de una mesa que esté en la misma fila, columna o diagonal que la última figura de reina que Jeck colocó en la mesa. El jugador que no puede poner su figura pierde. ¿Para qué pares de $(m,n)$ Lisa tiene una estrategia ganadora?

Demuestra que existen infinitos enteros positivos que no pueden escribirse en la forma $a^{d(a)}+b^{d(b)}$ para algunos enteros positivos $a$ y $b$ . Para un entero positivo $d(a)$ denota el número de divisores positivos de $a$

Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos a sí mismos tales que: 1 ) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos los enteros positivos $m, n$ 2 ) $\{1, 2, ..., n\}=\{f(1), f(2), ... f(n)\}$ es verdadero para infinitos enteros positivos $n$ .

Sea $ABC$ un triángulo. Las bisectrices del ángulo externo e interno de $\angle CAB$ intersecan el lado $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Sea $F$ un punto en el segmento $BC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $ADF$ interseca a $AB$ y $AC$ en $I$ y $J$ , respectivamente. Sea $N$ el punto medio de $IJ $ y $H$ el pie de $E$ en $DN$ . Demuestra que $E$ es el incentro del triángulo $AHF$ , o el centro del excírculo.

En cada vértice de un $n$ -ágono regular $A_1A_2...A_n$ hay un peón único. En cada paso se permite: 1. mover todos los peones un paso en la dirección de las agujas del reloj o 2. intercambiar los peones en los vértices $A_1$ y $A_2$ . Demuestra que mediante una serie finita de tales pasos es posible intercambiar los peones en los vértices: a) $A_i$ y $A_{i+1}$ para cualquier $ 1 \leq i < n$ dejando todos los demás peones en su lugar inicial b) $A_i$ y $A_j$ para cualquier $ 1 \leq i < j \leq n$ dejando todos los demás peones en su lugar inicial.

Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas? Si un hecho es verdadero, debes probarlo, si no lo es, encuentra un contraejemplo. a) Sean $a,b,c$ números reales tales que $ a^{2013} + b^{2013} + c^{2013} = 0 $ . Entonces $ a^{2014} + b^{2014} + c^{2014} = 0 $ . b) Sean $a,b,c$ números reales tales que $ a^{2014} + b^{2014} + c^{2014} = 0 $ . Entonces $ a^{2015} + b^{2015} + c^{2015} = 0 $ . c) Sean $a,b,c$ números reales tales que $ a^{2013} + b^{2013} + c^{2013} = 0 $ y $ a^{2015} + b^{2015} + c^{2015} = 0 $ . Entonces $ a^{2014} + b^{2014} + c^{2014} = 0 $ .