Se da un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. Sea $D$ un punto de $BC$ tal que $DA$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sean $E$ y $F$ los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente, y sea $M$ el punto medio de $EF$. Demuestra que la línea tangente a la circunferencia circunscrita de $AMD$ a través de $D$ también es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ se encuentran en un círculo $\omega$ tal que $AB=BC=CD$. La línea tangente a $\omega$ en el punto $C$ interseca la línea tangente a $\omega$ en $A$ y la línea $AD$ en $K$ y $L$. El círculo $\omega$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $KLA$ se intersectan nuevamente en $M$. Demuestra que $MA=ML$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\omega$ con centro $O$. Sea $P$ la intersección de las dos diagonales $AC$ y $BD$. Sea $Q$ un punto que se encuentra en el segmento $OP$. Sean $E$ y $F$ las proyecciones ortogonales de $Q$ sobre las líneas $AD$ y $BC$, respectivamente. Los puntos $M$ y $N$ se encuentran en la circunferencia circunscrita del triángulo $QEF$ tal que $QM \parallel AC$ y $QN \parallel BD$. Demuestra que las dos líneas $ME$ y $NF$ se encuentran en la bisectriz perpendicular del segmento $CD$.

Llamamos a dos polígonos simples $P, Q$ $\textit{compatibles}$ si existe un entero positivo $k$ tal que cada uno de $P, Q$ puede ser particionado en $k$ polígonos congruentes similares al otro. Demuestra que para cada dos enteros pares $m, n \geq 4$, hay dos polígonos compatibles con $m$ y $n$ lados. (Un polígono simple es un polígono que no se intersecta a sí mismo.)

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Puntos arbitrarios $M$ y $N$ se encuentran en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente. Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en el mismo semiplano que el punto $C$ con respecto a la línea $MN$, y satisfacen $\triangle CMN \sim \triangle PAN \sim \triangle QMB$ (en este orden exacto). Demuestra que $OP=OQ$.

Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con igual radio se intersectan en dos puntos $E$ y $X$. Puntos arbitrarios $C, D$ se encuentran en $\omega_1, \omega_2$. Líneas paralelas a $XC, XD$ desde $E$ intersectan $\omega_2, \omega_1$ en $A, B$, respectivamente. Suponga que $CD$ intersecta $\omega_1, \omega_2$ nuevamente en $P, Q$, respectivamente. Demuestra que $ABPQ$ es cíclico.

En la figura de abajo tenemos $AX = BY$. Demuestra que $\angle XDA = \angle CDY$.

a) ¿Existen cuatro triángulos equiláteros en el plano tales que cada dos tienen exactamente un vértice en común, y cada punto en el plano se encuentra en la frontera de a lo sumo dos de ellos? b) ¿Existen cuatro cuadrados en el plano tales que cada dos tienen exactamente un vértice en común, y cada punto en el plano se encuentra en la frontera de a lo sumo dos de ellos? (Ten en cuenta que en ambas partes, no hay suposición sobre la intersección del interior de los polígonos.)

Sea $AD$ la bisectriz del ángulo interno del triángulo $ABC$. Las circunferencias inscritas de los triángulos $ABC$ y $ACD$ se tocan externamente. Demuestra que $\angle ABC > 120^{\circ}$. (Recuerda que la circunferencia inscrita de un triángulo es un círculo dentro del triángulo que es tangente a sus tres lados.)

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB = BC = CD$ y $\angle BDE = \angle EAC = 30 ^{\circ}$. Encuentra los valores posibles de $\angle BEC$.