Comenzamos con cualquier lista finita de enteros positivos distintos. Podemos reemplazar cualquier par $n, n + 1$ (no necesariamente adyacentes en la lista) por el único entero $n-2$ , ahora permitiendo negativos y repeticiones en la lista. También podemos reemplazar cualquier par $n, n + 4$ por $n - 1$ . Podemos repetir estas operaciones tantas veces como queramos. Determine el entero más negativo que puede aparecer en una lista, o demuestre que no existe tal mínimo.

Sea $p > 3$ un número primo, y sea $F_p$ el conjunto (finito) de clases de residuos módulo $p$ . Sea $S_d$ el conjunto de polinomios de $2$ variables $P(x, y)$ con coeficientes en $F_p$ , grado total $\le d$ , y que satisfacen $P(x, y) = P(y,- x -y)$ . Demuestre que $$|S_d| = p^{\lceil (d+1)(d+2)/6 \rceil}$$ . El grado total de un polinomio de $2$ variables $P(x, y)$ es el valor más grande de $i + j$ entre los monomios $x^iy^j$ que aparecen en $P$ .

Comenzamos con cualquier lista finita de enteros positivos distintos. Podemos reemplazar cualquier par $n, n + 1$ (no necesariamente adyacentes en la lista) por el único entero $n-2$ , ahora permitiendo negativos y repeticiones en la lista. También podemos reemplazar cualquier par $n, n + 4$ por $n - 1$ . Podemos repetir estas operaciones tantas veces como queramos. Determine el entero más negativo que puede aparecer en una lista, o demuestre que no existe tal mínimo.

Sean $z_1, z_2, z_3$ números complejos distintos por pares que satisfacen $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ y \[\frac{1}{2 + |z_1 + z_2|}+\frac{1}{2 + |z_2 + z_3|}+\frac{1}{2 + |z_3 + z_1|} =1.\] Si los puntos $A(z_1),B(z_2),C(z_3)$ son vértices de un triángulo acutángulo, demuestra que este triángulo es equilátero.

Sean $a,b,c>0$ y $ab+bc+ca+2abc=1$ entonces demuestra que \[2(a+b+c)+1\geq 32abc\]

En un triángulo $ABC$ , la altura desde $A$ se encuentra con la circunferencia circunscrita nuevamente en $T$ . Sea $O$ el circuncentro. Las líneas $OA$ y $OT$ intersecan el lado $BC$ en $Q$ y $M$ , respectivamente. Demuestra que \[\frac{S_{AQC}}{S_{CMT}} = \biggl( \frac{ \sin B}{\cos C} \biggr)^2 .\]

Encuentra todos los números naturales $m$ tales que \[1! \cdot 3! \cdot 5! \cdots (2m-1)! = \biggl( \frac{m(m+1)}{2}\biggr) !.\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $\omega$ con centro $O$. Los puntos $E$, $F$ se encuentran en su lado $AC$, $AB$, respectivamente, tal que $O$ se encuentra en $EF$ y $BCEF$ es cíclico. Sean $R$, $S$ las intersecciones de $EF$ con los arcos más cortos $AB$, $AC$ de $\omega$, respectivamente. Suponga que $K$, $L$ son la reflexión de $R$ sobre $C$ y la reflexión de $S$ sobre $B$, respectivamente. Suponga que los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en las líneas $BS$ y $RC$, respectivamente, tal que $PK$ y $QL$ son perpendiculares a $BC$. Demuestra que el círculo con centro $P$ y radio $PK$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $RCE$ si y solo si el círculo con centro $Q$ y radio $QL$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $BFS$.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$. Sus diagonales se intersecan en un punto $P$. La línea que pasa por $P$ paralela a $AB$ interseca $AD$ y $BC$ en $Q$ y $R$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos $DBA$, $DCA$ se intersecan en $X$. Sea $S$ el pie de $X$ sobre $BC$. Demuestra que si los cuadriláteros $ABPQ$, $CDQP$ están circunscritos, entonces $PR=PS$.

En el triángulo $ABC$ $(\angle A\neq 90^\circ)$, sean $O$, $H$ el circuncentro y el pie de la altura desde $A$ respectivamente. Suponga que $M$, $N$ son los puntos medios de $BC$, $AH$ respectivamente. Sea $D$ la intersección de $AO$ y $BC$ y sea $H'$ el reflejo de $H$ sobre $M$. Suponga que la circunferencia circunscrita de $OH'D$ interseca la circunferencia circunscrita de $BOC$ en $E$. Demuestra que $NO$ y $AE$ son concurrentes en la circunferencia circunscrita de $BOC$.