Los círculos $\Omega$ y $\Gamma$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$. La línea que contiene sus centros interseca a $\Omega$ y $\Gamma$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, de tal manera que estos puntos se encuentran en el mismo lado de la línea $AB$ y el punto $Q$ está más cerca de $AB$ que el punto $P$. El círculo $\delta$ se encuentra en el mismo lado de la línea $AB$ que $P$ y $Q$, toca el segmento $AB$ en el punto $D$ y toca a $\Gamma$ en el punto $T$. La línea $PD$ interseca a $\delta$ y $\Omega$ nuevamente en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demuestre que $\angle QTK=\angle DTL$.

En un alfabeto de $n$ letras, una $sílaba$ es cualquier par ordenado de dos letras (no necesariamente distintas). Algunas sílabas se consideran $indecentes$. Una $palabra$ es cualquier secuencia, finita o infinita, de letras, que no contiene sílabas indecentes. Encuentre el menor número posible de sílabas indecentes para las cuales no existen palabras infinitas.

Determine si existe una secuencia infinita $a_0, a_1, a_2, a_3,...$ de enteros no negativos que satisface las siguientes condiciones: (i) Todos los enteros no negativos aparecen en la secuencia exactamente una vez. (ii) La sucesión $b_n=a_{n}+n,$ , $n\geq0$ , está formada por todos los números primos y cada uno aparece exactamente una vez.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ , $AC$ , y $AB$ en $D, E$ , y $F$ respectivamente. Sean $\omega_a, \omega_b$ y $\omega_c$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $EAF, DBF$ , y $DCE$ , respectivamente. Las líneas $DE$ y $DF$ cortan a $\omega_a$ en $E_a\neq{E}$ y $F_a\neq{F}$ , respectivamente. Sea $r_A$ la línea $E_{a}F_a$ . Sean $r_B$ y $r_C$ definidos análogamente. Demuestre que las líneas $r_A$ , $r_B$ , y $r_C$ determinan un triángulo con sus vértices en los lados del triángulo $ABC$ .

Pablo y Silvia juegan en un tablero de $2010 \times 2010$. Para comenzar el juego, Pablo escribe un entero en cada celda. Después de que termina, Silvia repite la siguiente operación tantas veces como quiera: elige tres celdas que forman una $L$ , como en la figura de abajo, y suma $1$ a cada uno de los números en estas tres celdas. Silvia gana si, después de hacer la operación muchas veces, todos los números en el tablero son múltiplos de $10$ . Demuestre que Silvia siempre puede ganar. $\begin{array}{|c|c} \cline{1-1} \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \cline{2-2} \; & \; \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c} \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \cline{1-1} \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \cline{2-2} \end{array}$

Definamos cortar un polígono convexo con $n$ lados eligiendo un par de lados consecutivos $AB$ y $BC$ y sustituyéndolos por tres segmentos $AM, MN$ , y $NC$ , donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$ . En otras palabras, el triángulo $MBN$ se elimina y se obtiene un polígono convexo con $n+1$ lados. Sea $P_6$ un hexágono regular con área $1$ . $P_6$ se corta y se obtiene el polígono $P_7$ . Luego, $P_7$ se corta de una de siete maneras y se obtiene el polígono $P_8$ , y así sucesivamente. Demuestre que, independientemente de cómo se hagan los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $2/3$ .

En una línea, se marcan $44$ puntos y se numeran $1, 2, 3,…,44$ de izquierda a derecha. Varios grillos saltan alrededor de la línea. Cada uno comienza en el punto $1$ , saltando sobre los puntos marcados y terminando en el punto $44$ . Además, cada grillo salta de un punto marcado a otro punto marcado con un número mayor. Cuando todos los grillos han terminado de saltar, resulta que para cada par $i, j$ con ${1}\leq{i}<{j}\leq{44}$ , hubo un grillo que saltó directamente del punto $i$ al punto $j$ , sin visitar ninguno de los puntos intermedios. Determine el número más pequeño de grillos para que esto sea posible.

Pedro debe elegir dos fracciones irreducibles, cada una con numerador y denominador positivo, tales que: La suma de las fracciones es igual a $2$ . La suma de los numeradores de las fracciones es igual a $1000$ . ¿De cuántas maneras puede Pedro hacer esto?

Dado un primo $p$, demuestre que la suma $\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{q}{p} \rfloor}{k^{p-1}}$ no es divisible por $q$ para todos los primos $q$ excepto para un número finito.

Determinar todos los enteros $n \ge 3$ cuya expansión decimal tiene menos de $20$ dígitos, tal que cada no residuo cuadrático módulo $n$ es una raíz primitiva módulo $n$. Un entero $a$ es un no residuo cuadrático módulo $n$, si no existe un entero $b$ tal que $a - b^2$ es divisible por $n$. Un entero $a$ es una raíz primitiva módulo $n$, si para cada entero $b$ relativamente primo con $n$ existe un entero positivo $k$ tal que $a^k - b$ es divisible por $n$.